Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(х,у)р = tr(p(x)p{y)),
(1.1)
{у, я)P = (®> у)P и <[яг, у], z) = (х, [у, z))
р-
(1.2) 504 Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
Когда р = ad есть присоединенное представление алгебры д, билинейная форма ( , )ас] называется формой Киллинга алгебры Ли д.
Конечномерная алгебра Ли называется полупростой, если ее форма Киллинга невырождена. Для любого базиса {хг}г алгебры g существует, и единственный, базис {хг}і, называемый дуальным к {а^},, удовлетворяющий условию
(Хі, X )acJ = oij
для всех г, j. Зададим линейные функции 0?' и /? на g равенствами
[xi,x] = Yaij(X)Xj И [x\x\ = Yl?ij(X)xj ¦ (1"3) і j
Лемма 17.1.1. Для всех i,j имеет место равенство ?ij = -Otji-
Доказательство. Применяя (1.2) к форме Киллинга, получаем
([®i,®],®J)atj = (xi,[x,xj])ad. (1.4)
Раскрытие скобок в левой части равенства (1.4) дает ([xj, ж], xJ)acj = = aij(x), а в правой — (хі, [x,x^])ad = -?ji(x). ?
Определим теперь элемент Казимира С алгебры Ли д, который представляет собой элемент
C = J2xixi (1-5)
і
обертывающей алгебры Z7(g).
Предложение 17.1.2. Элемент Казимира С не зависит от выбора базиса {хі}і и принадлежит центру алгебры (7(g).
Доказательство. Первое утверждение следует из хорошо известного факта линейной алгебры: если {уі}і есть базис, связанный с базисом {хі}і соотношением yi = j AijXj, где скаляры (Aij)ij образуют невырожденную матрицу А, то двойственный к {уі}і базис {уг}г связан с {хг}г формулой
у1 =
і 17.1. Полупростые алгебры JIu
505
где В = (Bij)ij есть матрица, обратная к А. Далее,
Yy^i = Y(52BkiAi])Xjxk =
г j,k і
= ^ ^ SfcjXjX =
3,к
~ YjxJx'' = І
т. е. С не зависит от выбора базиса. Чтобы убедиться, что С лежит в центре, достаточно проверить, что С коммутирует с любым элементом X из 0. Но действительно,
[С,х] = Yixix\x] = і
= X Zit2^] + Xt®*'®!®1 = і і
= Yj{?l](x)xix3 + OLij{x)XjXl) = i,j = 0
согласно лемме 1.1. ?
Используя коумножение А в обертывающей алгебре, определим элемент
A(C) - IOC-COl Xi ® Xі + Xі О Xi „.
t=-j-= ^-2-' (L6)
і
лежащий в 0 О 0. Этот элемент будет играть ведущую роль в главе 19. Он обладает следующими свойствами.
Предложение 17.1.3. Элемент t является симметрическим д-инва-риантным элементом в 0 О 0, то есть мы имеем
f2i=f и [A(x),t} = 0 (1.7)
для всех X Є Q, где 1 = тЯЛ(і). 506 Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
Доказательство. Симметричность t очевидна из определения. Что касается g-инвариантности, то достаточно доказать, что А (х) коммутирует с A(C) и с 1®С + С®1. В первом случае мы имеем [А(ж),А(С)] = А([х, С]) = 0, так как Д есть гомоморфизм алгебр, а элемент С центральный. Мы также имеем
ПРИМЕР 1. Рассмотрим 3-мерную простую алгебру Ли sl(2) из главы 5. Нетрудно проверить, что форма Киллинга невырождена, а базис, дуальный к базису {X, Y, Н}, рассмотренному в параграфе 5.3, есть {Y/A,X/4,H/8}. Следовательно, для sl(2) мы получаем
Для задания каждой полупростой алгебры Ли Картан использовал ее матрицу Картана, которая представляет собой квадратную матрицу А = обладающую следующими свойствами:
(І) матричные элементы аг] являются неположительными целыми числами, если і ф j и ац = 2,
(ii) существует диагональная матрица D = diag(di,... , dn) с элементами на диагонали, называемыми длинами корней, принадлежащими множеству {1,2,3}, такая, что матрица DA симметричная и положительно определенная.
По теореме Ceppa [Ser65] обертывающая алгебра U(g) алгебры Ли д изоморфна алгебре, порожденной 3п образующими {Хг, Yi, Нг}і^г<^п и соотношениями
[Д(х), 1 <g> С + С <g> 1] = 1 ® [х, С] + [х, С] ® 1 = 0, снова потому, что С центральный.
?
(1.8)
[Xi,Yj] = SijHi, (1.9)
[HuYjI = -OijYj (1.10)
и, если і ф j,
и
!-qVJ / 1 _ \
X (-!)*( kaij J YfcYjY^aij~k = 0. (1.12)
І—ац—k 17.2. Алгебры Дринфельда-Джимбо
507
Матрица Картана для sl(2) есть lxl-матрица А = (2) с D = (1). В этом случае указанные выше соотношения превращаются в формулы (5.3.2).
Мы заканчиваем этот обзор несколькими замечаниями о представлениях полупростой алгебры Ли д. Любой конечномерный д-модуль полупрост, то есть является прямой суммой простых модулей. Конечномерные простые g-модули классифицируются множеством старших весов: старшим весом называется линейная функция Л на подпространстве f) алгебры 0, порожденном элементами Hi,... ,Hn, такая, что X(Hi) есть неотрицательное целое при всех і = 1,... ,п. Для любого старшего веса Л существует, притом единственный, конечномерный простой g-модуль V\, порожденный элементом v\, называемым старшим вектором, такой, что
HiVx = X(Hi)V X и XiVx = O (1.13)
для всех г = 1,... ,п. Все конечномерные простые g-модули имеют такой вид. Элемент Казимира С действует на каждом простом д-модуле V\ размерности > 1, то есть с Л ф 0, умножением на положительный скаляр. Для в 1(2) мы доказали этот факт в главе 5. В случае sl(2) множество старших весов совпадало с Z+, где старший вес Л, соответствующий числу п, задавался условием Л(H) = п.
