Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
V о о
Pn(H) =
( п О
О
V о
о
п — 2
О О
О О
О
О \
о
о \ о
1
О/
о о
[п]я о у
о о
-п + 2 О
О О
-п
тр? q = eh!2, и [n]g =
Матрицы рп(Х), pn(Y) и рп(Н) удо-
sh(n/t/2) sh(A/2) '
влетворяют соотношениям (4.1), (4.2), а значит, задают структуру топологического [//j-модуля на Vn. Заметим, что имеет место равенство 0-модулей
VnfhVn = V(n)
(4.18)
и что рассматриваемый как [/^-модуль относительно вложения г из предложения 4.1 модуль Vn изоморфен простому [/^-модулю V\,п из параграфа 6.3.
Проверим непосредственным вычислением, что квантовая размерность модуля Vn, определенная в параграфе 3, равна
dim9 Vn = [dim(V(n))]9 = [n + 1]„ (4.19)
где q = eh/2. Действительно, элемент р, определенный в параграфе 2, в случае sl(2) равен р = у. Согласно рассуждению из параграфа 3, dim9(Vrn) равна следу действия элемента ehp. 522
Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
Следовательно,
dim9(Vn) = ZnhIti + е("-2)Л/2 + _ + e-(n-2)A/2 + e-nh/2 = = qn +qn~2 + +q~n =
— Tl
Элементы X и Y, а значит, и E и F действуют на модулях V^ ниль-потентно, поэтому можно применить к ним универсальную -R-матрицу Rh- Это позволяет задать К-линейный автоморфизм сп по формуле
cn(vi Qv2) = (Rh{vі <8>w2))21,
где vi, V2 Є Vn, как и в параграфе 8.3. Автоморфизмы Cn являются решениями уравнения Янга-Бакстера. В случае модуля Vi непосредственное применение теоремы 4.2 показывает, что в базисе, состоящем из векторов vo <8> vo, vi <S> vi, vq Q vi, Vi Q Vq, автоморфизм Ci задается матрицей
т. е. і?-матрицей, с которой мы уже сталкивались в параграфе 8.7, где она позволила нам определить биалгебру Mq (2) и ее фактор-алгебру SX9 (2) с помощью конструкции РТФ.
На этом мы завершаем изучение «квантовых групп», ассоциированных с SL(2), и их связь с і?-матрицей (4.20).
17.5. Упражнения
1. Вычислите многочлен Pl в формуле (2.13) для Rh в случае I = (0, -.. , 1, • •. ,0), где 1 появляется ровно один раз.
2. Покажите, что как С[/г]-модуль алгебра Uh{s 1(2)) топологически свободна.
3. Пусть 0 = sl(2) и V = V(I). Найдите связь между изотопическим инвариантом QB,v и инвариантом Фг,9 из предложения 10.4.7.
(q 0 0 0 \
Q
1/2 0 q 0 0 0 0 0 1 \0 0 1 q-q-1 J
(4.20) 15.7. Замечания
523
17.6. Замечания
Полное изложение теории полупростых алгебр Ли можно найти, например, в [ВоибО], [Dix74], [Hum72], [Jac79], [Ser65], [Var74]. Полный список матриц Картана см. в [ВоибО].
Описание Ufl(B) как алгебры над C[[/i]], которое мы дали в параграфе 2, принадлежит Дринфельду [Dri85], [Dri87]. Ее версия, рассмотренная Джимбо в [Jim85], является алгебраическим вариантом алгебры U17(д), уже обсуждавшимся в параграфе 6.7. Последнюю можно рассматривать как хопфовскую подалгебру в Ufl (д), порожденную элементами д = eh!2, Xi, Yi, Ki = ehdiHi/2 и К~\ где г = 1,... ,п.
В специальном случае д = sl(2) алгебра Uh(sl(2)) была построена ранее Кулишем и Решетихиным [KR81], а структура алгебры Хопфа на ней была найдена Скляниным [Skl85].
Дринфельд создал конструкцию квантового дубля специально для того, чтобы найти универсальную і?-матрицу алгебры Ufl(fl). Этот метод применялся самим Дринфельдом [Dri87] для нахождения явного вида Rfl в случае s\(2) и Pocco [Ros89] в случае si(п). Выражения для универсальной Д-матрицы в общем случае принадлежат Кириллову, Pe-шетихину [KR90] и Левендорскому, Сойбельману [LS90].
Теория представлений алгебры Ufl (д) была разработана Люстигом в [Lus88] и Pocco [Ros88]. Глава 18
Когомологии и теоремы о жесткости
В этой главе мы докажем две теоремы о жесткости, которые понадобятся нам в главе 19. Первая из них является классической: она утверждает, что любая формальная деформация обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли является тривиальной. Доказательство основано на обращении в нуль некоторых групп когомологий. Вторая теорема о жесткости принадлежит Дринфельду [Dri89b], [Dri90]. Она утверждает, что если квантовые обертывающие алгебры А и А' совпадают как кокоммутативные биалгебры и имеют одинаковые универсальные A-матрицы, то существует калибровочное преобразование от А к А!. Доказательство опять основывается на изучении когомологий, на этот раз включающем кобар-комплексы некоторой симметрической коалгебры.
Всюду предполагается, что основное поле есть поле комплексных чисел.
18.1. Когомологии алгебр Ли
Пусть 0 —. некоторая алгебра Ли, M — некоторый левый 0-модуль, то есть векторное пространство вместе с билинейным отображением 0 X M —> M таким, что
[х, у]т = х(ут) — у(хт) (1.1)
для всех х,у Є 0 и т Є М. В параграфе 5.2 было показано, что левый 0-модуль есть не что иное, как левый модуль над обертывающей алгеброй U(g) алгебры Ли 0.
Для п > 0 пусть Сп(д,М) = Нот(Лп0,М) — пространство всех кососимметрических n-линейных отображений из 0 в М. Данное n-линейное отображение / называется кососимметрическим, если 18.1. Когомологии алгебр JIu
525
/Ozlj(I),... ,Xcin)) = e(a)f(xi,... ,хп) для всех Xi,... ,хп Є 0 и всех перестановок а множества {1,... ,п}. Если n = 0, то мы полагаем С°(д,М) = М. Для / Є Cn(Q1M) мы определяем (n + 1)-линейное отображение Sf по формуле
