Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(в) Для любой пары V,W объектов из С объекты (V О W)* и W* О V* изоморфны.
Это предложение означает, что отображение V >-+ V* продолжается до функтора из категории С в противоположную категорию и что функтор • О У (соответственно V*® ¦) является левым присоединенным к функтору ¦ О V* (соответственно к функтору Fo-).
Доказательство, (а) Используйте графическое исчисление.
(б) Пусть / Є Hom(f/ О V, W) и g Є Нот(U, W О V*). Возьмем следующие элементы /" Є Нот(С/, W О V*) и д* Є Нот(С/ О V, W):
/" = (/ О idy.)(idt/ О by) и д9 = (idw О dv)(g О idy).
Рис. 14.2.4. Транспонированный морфизм /* 14.2. Двойственность
429
Соотношение (2.1) означает, что (/")'' = / и (t^)" = д. Аналогичное доказательство работает и для другой формулы присоединения. Мы предлагаем читателю дать графическое доказательство.
(в) Определим морфизм Av,w '¦ ® V* (V ® W)* по формуле
Xvyv = (dw ®Id(Vgiy)*)(idjy ®c?v®idvi/g(ygw)*)(i(ivvgv ®bv®w) (2.3) и морфизм Xy1w : (V <8 W)* W* <8 V* по формуле Xy1w = {dv®w <8idiv*gv*)(id(vgw)*gv®^w <8idv)(id(vgiv)* Qby). (2.4) Морфизмы Av,iv и Xy1w представлены графически на рис. 2.5.
V <8 W
П.
'dygyy
W V
W V
V ®w
Av, w
-і
Рис. 14.2.5. Морфизмы Лv,w и Xv
w
На рис. 2.6 и 2.7 дано графическое доказательство того, что Ayiv есть изоморфизм из W* <8 V* в (V <8 W)*, a Xy1w — обратный к нему.
Заметим, что в этих графических доказательствах использованы рис. 1.6 и 2.3. ?
Имеется аналогичное понятие правой двойственности: строгая тензорная категория (С,<8,/) называется тензорной категорией с правой двойственностью, если для каждого объекта V из С указан объект *V и морфизмы
b'v:I->*V®V и d'v:V®*V->I в категории С такие, что
(dy <8 idv)(idv (8 b'v) = idy и (id.y <8 d'v)(b'y <8 id-y) = id-y. (2.5) 430
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
W V
W V
fidygity
id V0W
W V
W V
W V
ҐҐ^-
v®w
id v®w
W V
I I
W V
W V
WV WV
N
f\J
Рис. 14.2.6. Доказательство равенства \vlw ° Av,w = idw^v 14.2. Двойственность
431
V®W
v®w
О
id vtgiW
O1
id visiw ur %
idy®ty
V (? W V®W
idy® w
O
n.
id Visw
V
W
v®w
V ® W
id v®w
v®w
v®w v®w
Ol
idy® w
id
V<giW
V®W
Рис. 14.2.7. Доказательство равенства Лv,w ° Xy1w = id(y®w). 432
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Здесь снова отображение V V продолжается до функтора, если определить морфизм */ : * W —> * V для каждого морфизма / : V —» W по формуле
7 = (id.y <8 d'w){id*v <8/(8 id*w)(b'v <8 idw). (2.6)
Правая двойственность имеет свойства, аналогичные свойствам левой, указанным в предложении 2.2. Мы оставляем формулировку их читателю. В частности, наличие правой двойственности означает, что функтор V <8 ¦ (соответственно функтор ¦ <8 *V) является левым присоединенным к функтору * V <8 ¦ (соответственно к функтору ¦ <8 V).
В общем случае правая двойственность отличается от левой двойственности, если нет никаких дополнительных предположений о категории С. Однако может случиться так, что категория С автономна, то есть обладает и левой и правой двойственностью. В этом случае для любого объекта V имеют место изоморфизмы
*(у*) ^V = i*V)*. '
Мы отсылаем за доказательством к [JS93]. (Указание: первый изоморфизм вытекает из следующих естественных изоморфизмов:
Нот(С/,*(У*) <8 W) = Hom(F* <8 U, W) ^ Нот(С/, V <8 W),
первый из которых есть свойство правой двойственности, а второй — свойство левой.)
ПРИМЕР 1. Пусть А — алгебра Хопфа с антиподом S. Категория A-Modf левых Л-модулей, конечномерных над полем к, есть тензорная подкатегория в A-Mod. Для любого левого Л-модуля V снабдим двойственное векторное пространство V* = Hom(F, k) А-действием, заданным формулой
(af,v) = (f,S(a)v), (2.7)
где a E А, V EV п f EV*. Для конечномерного А- модуля V определим отображения by '¦ к —> V <8 V* и dy : V* <8 V —> к формулами
Ьу(1) = и dViVi (8 vj) = (Vі,Vj), (2.8)
і
где {vi}i — некоторый базис пространства V, а {г>1}^ — дуальный к нему базис в V*. Отображение by совпадает с отображением 14.3. Ленточные категории
433
ковычисления, a dy — с отображением вычисления, определенными в параграфах 2.2 и 2.3. Согласно предложению 3.5.3 отображения by и dy являются Л-линейными. Согласно предложению 2.3.1 они удовлетворяют соотношению (2.1), задавая на A-Modf структуру тензорной
" 29
категории с левой двойственностью .
Предположим дополнительно, что антипод S обратим. Для произвольного левого Л-модуля V обозначим через * V то же двойственное векторное пространство, но теперь снабженное левым Л-действием, которое записывается для всех а Є A, v Є V и всех линейных функций / на V формулой
{af,v) = (f,S-Ha)v). (2.9)
Для конечномерного модуля V определим отображения by : к —> * V <8 V и dy : V <8 * V —> к формулами
Ь'у{ 1) = JV <3 Vi и сHviviQvJ) = (vj,vi), (2.10)
і
используя те же соглашения, что и выше. Можно проверить, что отображения by и dy являются ,4-линейными и удовлетворяют соотношениям (2.5), задавая на A-Modf структуру тензорной категории с правой двойственностью. Другими словами, категория A-Modf автономна, если Л — алгебра Хопфа с обратимым антиподом.
