Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Мы готовы сформулировать первое свойство универсальности категории В.
Теорема 13.3.3. Для любой тензорной категории С функтор 0: Tens(B,€) —» YB(C), определенный выше, является эквивалентностью категорий.
Доказательство. Согласно предложению 11.1.5 достаточно доказать, что функтор © вполне точен и существенно сюръективен.
Чтобы доказать вполне точность функтора ©, мы должны показать, что © индуцирует биекцию на морфизмах. Для отображения 7777(1), определенного выше, мы построим обратное.
Пусть /: (F(I)^21 F(cltl)<p2) (F'(l), ^2"1 F'(ci,i)<^) - некоторый морфизм в YB(C), где (F,ipo,ip2) и (F',(p'0,<p'2) — тензорные функторы из В в С. Мы хотим построить естественное тензорное преобразование функторов Tjf от (F,(po,(p2) к (F', <p'Q, <р'2) такое, что 77/(1) = /. 408
Глава 13. Сплетения
Будем действовать следующим образом. Если п = 0,1, то мы полагаем 77/(0) = <Pq<Pq 1 и 77/(1) = /. Если п > 1, то мы определяем 77/(п) индуктивно по правилу
VfH = <P2(f®r]f(n-l)) V21- (3.8)
Лемма 13.3.4. Семейство (г7/(гг))„^о является естественным тензорным преобразованием функторов.
Доказательство. Мы должны проверить, что
F'(g)r]f(n) = r]f(n)F(g) (3.9)
для любого целого n ) 0 и любого элемента д группы кос B71, что 77/(0)<?>о = tPo (это верно по определению 77/(0)) и что для всех п, т ^ 0
T7/(n <g> m)<^2 = ?>2(»7/(«) ® rjf(m)). (3.10)
Соотношение (3.9) достаточно проверить в случае, когда д является одной из образующих CTj группы B71. Мы оставляем читателю вычисление, показывающее, что равенство (3.9) для д = является следствием соотношений (2.2) и (3.8), аксиомы пятиугольника (11.2.6), определения тензорного функтора и того, что / — морфизм в YB(C).
Что касается соотношения (3.10), то оно доказывается индукцией по т аналогично доказательству леммы 11.5.2. ?
Вполне точность функтора 0 следует из равенств 77/(1) = / и Vti(I) = V- Первое из них выполнено по определению. Проверим второе. Мы докажем индукцией по п, что
^jJ(I)N = v(n). (3.11)
Это очевидно в случае п = 0,1. Если п > 1, то сначала воспользуемся тем фактом, что 77 и являются естественными тензорными преобразованиями и запишем
tJ4(I) (л) = Vn(i)((n- l)Ol) =
= ?>2 K(I)("- 1) ® '7,,(1)(1)) Ip2 = = <p'2(r](n -1)0 77(1))(^2 = = 77((71 -1) ® 1) =
= ff(n)-
Это доказывает равенство (3.11), а значит, и вполне точность 0. 13.3. Универсальность категории кос
409
Для завершения доказательства теоремы 3.3 остается проверить, что функтор в существенно сюръективен. По теореме 11.5.3 мы можем предположить, что тензорная категория С является строгой. Тогда существенная сюръективность в получается применением следующей леммы. ?
Лемма 13.3.5. Пусть С — строгая тензорная категория, (V,a) — некоторый объект категории YB(C). Тогда существует, и притом единственный, строгий тензорный функтор F: В —> С такой, что F(I) = V и F(Clil) = а.
Доказательство. Если такой функтор существует, то формула (2.2) влечет F(n) = Vm и
F(Ci) = F(idf ® С1>1 ® id?*"-'-1*) = id®(i"1} ® а ® id?"-*-1)
для 1 ^ і ^ п — 1. Это доказывает единственность F, поскольку элементы CT1, (72, . . . , CXn-I порождают группу Bn.
Докажем существование F. Положим F(n) = V®n. Зададим автоморфизмы c1,... ,сп-1 объекта F(n) формулой
ci = id®(i-1)®CT®id®("-i-1),
где 1 < г ^ п — 1. Поскольку автоморфизм ст является оператором Янга-Бакстера, автоморфизмы Ci удовлетворяют соотношениям группы кос (10.6.1), (10.6.2). Из теоремы 10.6.5 следует, что существует, и притом единственный, гомоморфизм F из группы Bn в Aut(F(n)) такой, что F(CJi) = Ci для всех і. Функтор F является строгим тензорным функтором из В в С, и мы имеем F(clil) = c1 = ст. ?
13.3.2. Сплетенные тензорные функторы
Чтобы сформулировать второе свойство универсальности категории кос, нам нужно ввести понятие сплетенного тензорного функтора.
Определение 13.3.6. Тензорный функтор (F,(po,(f2) из сплетенной тензорной категории С в сплетенную тензорную категорию Т> 410
Глава 13. Сплетения
называется сплетенным, если для любой пары (V, V') объектов категории С квадрат
F(V)QF(V) F(VQVt)
F{V),F(Vt)
Ficvy,) (3.12)
F(V)QF(V) F(V1QV)
коммутативен.
Мы обозначаем через Br(C, V) категорию, объектами которой являются сплетенные тензорные функторы из С в Т>, а морфизмами — естественные тензорные преобразования.
Теорема 13.3.7. Для любой сплетенной тензорной категории С функтор в': Вг(В,С) —> С, задаваемый равенством Q1(F) = F(I), является эквивалентностью категорий.
Доказательство. Согласно предложению 11.1.5 снова достаточно доказать, что 0' есть вполне точный и существенно сюръективный функтор.
Вполне точность функтора в'. Во-первых, мы утверждаем, что если С есть сплетенная тензорная категория, a F, F' - сплетенные тензорные функторы, то
Homy?(c)(©(F),e(F')) = Homc(e'(F),e/(F/)).
Очевидно, левая часть содержится в правой. Нужно доказать обратное включение. Пусть / : F(I) = V -» F'(l) = V' — некоторый элемент из Hornc(Q'(F),Q'(F')). Мы хотим показать, что / есть морфизм в категории YB(C), что означает коммутативность квадрата (3.5), при а — ЧЬ.1 Р(с\,і)ч>2, ист' = (p'2~l F'(ciд)<?>2- Мы имеем
