Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(г) Проверьте, что квантовая размерность Х(А)-модуля еаК(А) равна х(а)-
(д) Найдите ленточную алгебру D и D-модуль V, квантовая размерность которого равна произвольному наперед заданному отрицательному числу.
5. (Коленточные алгебры.) Пусть H = (Н, р, г), А, є, S, г) — косплетенная алгебра Хопфа относительно универсальной -R-формы г (см. параграф 8.5). Она называется коленточной алгеброй, если в двойственной алгебре Н* выделен обратимый центральный элемент С такой, что
Co/i = f*f21*(C®C), C(I) = 1 и CoS = с, 13.7. Замечания
455
где f — элемент, обратный к г для операции свертки ? в (Н<8>Н)*, и где г21 = г о Th1H- Докажите, что категория конечномерных і/-комодулей является ленточной.
6. Покажите, что косплетенная алгебра Хопфа SLq(2) является ко-ленточной алгеброй с центральной линейной формой С, определенной условиями
((a)= ((d) =q-V2 и ((b) = С(с)=0.
14.8. Замечания
Графическое исчисление, описанное в параграфе 1, пропагандировалось во многих работах, например в [FY89], [FY92], [JS91a], [Kau91], [RT90], [RT91].
Понятие двойственности в тензорных категориях появилось в классических работах, указанных в главе 13. В примерах, приведенных в этой книге, нужно все время помнить о различии между левой двойственностью и правой двойственностью. В параграфе 2 мы следовали изложению понятия двойственности, предложенному Джоялом и Стритом в работе [JS93] (см. также [FY89]). В ней авторы ввели также понятие скручивания в строгой сплетенной тензорной категории и понятие ленточной категории. В действительности, они называли последнюю «tortile tensor category» 32 . Название, использованное здесь, было придумано Тураевым [Tur92] 33 .
Определение 4.1 принадлежит Тураеву [Тиг92]. Оно обобщает определения, данные ранее в работах [KL80] и [FY89]. Мы построили доказательство теоремы 4.2 так, чтобы продемонстрировать возможности графического исчисления, введенного в параграфе 1 (другое доказательство можно найти в [Tur94]).
Ленточные алгебры были придуманы Решетихиным и Тураевым в [RT90], которые также показали, что квантовые группы Дринфельда и Джимбо порождают ленточные алгебры.
32 Скрученной тензорной категорией. — Прим. ред.
33 Автор использует термин «twist», который мы перевели как «скручивание». — Прим. ред. 456
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Конструкция ленточной алгебры D(O) из упражнения 1 взята из работы [RT90]. Упражнение 4 принадлежит Тураеву: рассмотренный в нем пример не дает никакого интересного изотопического инварианта. Упражнение 5 взято из работы [JS91b]. Упражнение 6 принадлежит автору.
Существует развитие конструкции центра из параграфа 13.4, содержащееся в [КТ92], которое сопоставляет произвольной строгой тензорной категории С с левой двойственностью ленточную категорию V(C). Оно связано с квантовым дублем конечномерной алгебры Хопфа А с обратимым антиподом и конструкцией из упражнения 1 через эквивалентность ленточных категорий
V(A-Modf) S D(A)(O)-Modf.
Раскрашивая оснащенные диаграммы плетений в объекты и морфизмы строгой тензорной категории С, можно построить ленточную категорию 7Z(C) со следующим свойством: конструкция С >-> 7Z(C) функториальна и дает функтор левый присоединенный к функтору забывания из категории ленточных категорий в категорию строгих тензорных категорий. Другими словами, для данной ленточной категории С' существует естественная биекция между множеством строгих сплетенных тензорных функторов из 7Z(C) в С', сохраняющих двойственность и скручивание, и множеством строгих тензорных функторов из CbC'. В частности, если С — ленточная категория, то тождественный функтор на С соответствует функтору Fc ¦ TZ(C) —> С, сохраняющему тензорное произведение, сплетение, двойственность и скручивание. Дальнейшие подробности, связанные с категорией TZ(C), см. в [FY89], [JS93], [RT90], [RT91], [Tur92], [Тиг94].
Существование функтора Fq позволяет находить изотопические инварианты оснащенных зацеплений со значениями в полугруппе изоморфизмов единичного объекта ленточной категории С. Нужно действовать, как в конце пункта 5.1. Основное различие состоит в том, что теперь разрешается окрашивать связные компоненты зацепления в цвета, соответствующие различным, не обязательно совпадающим, объектам категории. Глава 15
Квазибиалгебры
Цель этой главы состоит в рассмотрении введенных Дринфельдом понятий (сплетенной) квазибиалгебры и калибровочных преобразований. Эти понятия понадобятся нам для формулировки основных результатов части IV. Данные здесь определения Основываются на формализме тензорных категорий и тензорных функторов, введенном в главах 11 и 13. В параграфе 4 мы для каждой сплетенной квазибиалгебры построим представления групп кос и покажем, что эквивалентные сплетенные квазибиалгебры порождают эквивалентные представления.
Мы часто будем использовать соглашения относительно индексов, принятые в параграфе 8.2.
15.1. Квазибиалгебры
В пункте 11.3.1 мы ввели понятие алгебры (А, А, є) с коумножением и коединицей: это — ассоциативная алгебра А над к с единицей и гомоморфизмами алгебр А: А —> A <S> А (коумножение) и є: А —> к (коединица). Мы видели, что обычное тензорное умножение в Vect(k) порождает тензорное умножение в категории A-Mod левых А-модулей, для которого I = к является единицей.
