Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 15.1.1. Пусть А = (А, Д, є) — алгебра с коумножением и коединицей. Она называется квазибиалгеброй, если категория A-Mod, снабженная тензорным умножением, взятым из Vect(к), является тензорной категорией.
Другими словами, (А, А, є) является квазибиалгеброй, если существуют условие ассоциативности а, условие левой единицы I и условие правой единицы г, удовлетворяющие аксиоме пятиугольника (11.2.6) и 458
Глава 15. Квазибиалгебры
аксиоме треугольника (11.2.9). Если эти условия совпадают со стандартными в категории Vect(к), то А есть биалгебра, как следует из предложения 11.3.1. Сейчас мы укажем характеристическое свойство квазибиалгебр, которое по сути совпадает с первоначальным определением Дринфельда [Dri89b].
Предложение 15.1.2. Пусть (А, А, є), как и выше, — алгебра с коумножением и коединицей. Она является квазибиалгеброй тогда и только тогда, когда существуют обратимый элемент Ф в A ® A ® А и обратимые элементы 1,г в А такие, что
(id ® Д)(Д(а)) = Ф((Д ® і<1)(Д(а)))Ф~1, (1.1)
(є <8 id)(Д(а)) = /_1а/, (id <g> є)(Д(а)) = r~lar (1.2)
для всех а ? А,
(id ® id <g> Д)(Ф) (А О id О id)^) = Ф234 (id О А О id)^) Фі2з (1.3)
и
(id <8> є t§) і<і)(Ф) = г® Г1. (1.4)
Здесь Фі2з = Ф®1 И Ф234 = 1 <8 Ф в соответствии с соглашениями из параграфа 8.2. В случае Ф = 1<81<81и/ = г = 1 мы получаем обычное определение биалгебры. Из предложения 1.2 мы видим, что главное различие между биалгебрами и квазибиалгебрами состоит в том, что коумножение в квазибиалгебре не обязательно коассоциативно. Однако оно «почти коассоциативно», как следует из соотношения (1.1). Это напоминает ситуацию со сплетенными биалгебрами, некокоммутатив-ность которых контролируется і?-матрицей (см. параграф 8.2).
В определение квазибиалгебры входят элементы Ф, / и г, поэтому для обозначения квазибиалгебры мы будем писать (А, А, є, Ф, I, г). Элемент Ф называется ассоциатором Дринфельда квазибиалгебры А.
Доказательство, (а) Пусть Ф, I и г — элементы, удовлетворяющие соотношениям (1.1)-(1.4). Для произвольной тройки (U, V, W) данных А-модулей зададим условие ассоциативности по формуле
au,v,w{(u <8>v) <8>w) = Ф (и® (v ®w)),
(1.5) 15.1. Квазибиалгебры 459
где uEU,vEVhw€.W,а, условия единиц — по формулам
Iv(IQv)=Iv и rv(vQl)=rv. (1.6)
Отображения а,1,г являются изоморфизмами, так как элементы Ф, I и г обратимы. Благодаря соотношениям (1.1), (1-2) эти отображения А-линейны. Соотношения (1.3) и (1.4) влекут выполнение аксиом пятиугольника и треугольника соответственно.
(б) Обратно, предположим, что категория A-Mod является тензорной с условиями ассоциативности а и единиц і и г, С помощью условия ассоциативности определим элемент ФвА®А®4по формуле
Ф = алЛл(1 ® 1 ® 1). (1.7)
Аналогично, из условий единиц мы получаем элементы
I = Ia(IQI) и г = гд(1 Q 1) (1.8)
алгебры А. Проверим, что Ф, I и г удовлетворяют условию предложения. Начнем с того, что эти элементы обратимы, поскольку соответствующие условия являются изоморфизмами.
Теперь докажем соотношение (1.2). Это делается так же, как и в доказательстве предложения 13.1.4: из функториальности условия ассоциативности для любых u?U,vEVhwEW имеет место коммутативный квадрат
(AOA)OA ад'д'д > AQ(AQA)
{u®v)®w
u®(v®w)
(UQV)QW au'v'w ) UQ(VQW),
где для любого элемента и из А-модуля U мы обозначаем через й единственное А-линейное отображение из А в U, отправляющее 1 в и. Следовательно,
du,v,w((u Qv) Qw) = (и Q (vQ ги))(Ф) = Ф (и Q (v Q w)). (1.9) 460
Глава 15. Квазибиалгебры
Выразим формулой А-линейность отображения au,v,w¦ С одной стороны, мы имеем
au,v,w{a{{u ®v) ® w)) = Ф((А ® id)(A(a))) (и ® (v ® w)).
С другой стороны,
a(au,v,w ((и ®v)® w)) = а(Ф(и ® (v ® го))) =
= ({id® А)(А(а))Ф) (и ® (v®w)).
Полагая u = v = w = l? А, получаем соотношение (1.1). Аналогично, из функториальности условий единиц следует, что
lv(l®v) = lv и ry(v ® 1) = rv. (1-Ю)
Из А-линейности морфизмов Iа и га следует соотношение (1.2).
Остается проверить выполнение соотношений (1.3), (1.4). Из аксиомы пятиугольника (11.2.6) мы имеем
а А,А,А® А ° Cl А® А,А,А = (id А ® а А,А,А) ° а А,А® А,А ° (а А,А,А ® ІсЦ).
Применяя обе части этого равенства к101®1®1и используя (1.9), мы получаем соотношение (1.3). Аналогичное рассуждение показывает, что из аксиомы треугольника следует соотношение (1.4). ?
Позднее мы увидим несколько примеров квазибиалгебр, которые не являются биалгебрами. Все они будут иметь тривиальные условия единиц, то есть I = г = 1.
Нам также понадобится следующее понятие: гомоморфизмом квазибиалгебр
а:(А,А,є,Ф,1,г)^(А',А',є',Ф',і',г') называется гомоморфизм соответствующих алгебр такой, что
(а ® а)А = А'а, (а ® а ® а)(Ф) = Ф', a(l)=l', а(г)=г'. (1.11)
Если, кроме того, этот гомоморфизм обратим, то он называется изоморфизмом квазибиалгебр. 15.2. Сплетенные квазибиалгебры
461
15.2. Сплетенные квазибиалгебры
Теперь мы введем аналог сплетенных алгебр (параграф 8.2) для квази-биалгебр.
Определение 15.2.1. Квазибиалгебру (А, А,є,Ф,1,г) назовем сплетенной, если соответствующая тензорная категория A-Mod является сплетенной.
