Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
= ($f)234 (id ® Af ® і<1)(Ф^) (Ф^)ігз- (3-4)
Но действительно,
(id® id® Af)($f) (Af ®id®id)^F) =
= F34 (id ® id ® A) (F23 (id ® Д)^)Ф(Д ® id) (F^)Ff21) Ff41 о
о Fi2(A ® id ® id) (F23(id ® Д)^)Ф(Д ® id)(F-1)F1^1) Ff21 = = F34 (id ® id ® A)(F23)(id ® id ® A) ((id ® A)(F)) (id ® id ® Д)(Ф) о о (A ® A)(F-1)F1-21F3-41F12F34(A ® A)(F) о о (A ® id ® id)(Ф)(Д ® id ® id)((A ® id)(F-1)) о о (A ® id ® id) (F121 ^1T,1 = = F34(id ® id ® A)(F23)(id ® id ® A) ((id ® A) (F)) (id ® id ® А)(Ф) о о (A ® id ® id)^)(A ® id ® id)((A ® id)(F-1)) о о (A ® id ® id) (F1T,1) Ff21 = 15.3. Калибровочные преобразования
465
= F34(id О id ® A) (F23^234 (id ® А ® id) ((id ® A)(F)) о О Ф234(id ® id ® А)(Ф)(Д ® id ® іа)(Ф)Ф^2з о
о (id ® А ® id)((А ® id)(F_1)^i23(A ® id ® id)(Ff21)F1^1 =
= F34 (id® id® A)(F23^234(id® A® id) ((id® A)(F)) о О (id ® А ® id)(Ф)(id ® А ® id) ((А ® id)(F-1)) о о Ф123(А ® id ® id)(Ff21)F1^1 =
= F34(id ® id ® A)(F2з)Ф2з4(id ® А ® id) (F2^1 ^31 о
О F23(id ® A ® id) (F23(id ® A)(F)Ф(A ® id)(F"1)Ff21)Ff31 о о F23(id ® А ® id)(Fi2)$i23(A ® id ® id) (Ff21) F1T,1 = = (^)234 (id ® Af <S> id)^F) (Ф^)ігз,
что доказывает (3.4). Первое и последнее равенства следуют из (3.2), (3.3), второе и шестое — из того факта, что А является гомоморфизмом алгебр, третье выполнено, поскольку Fi2 и F34 коммутируют, четвертое получается применением (1.1) к случаям a = F и F-1, а пятое — из (1.3).
Соотношение (1.4). Используя определение Ф_р и соотношения (1.4) и (3.1), мы немедленно получаем (id ® є ® id)^,p) = FF-1 = 1 ® 1. ?
Если F является калибровочным преобразованием на А, то этим свойством обладает и F-1, и мы имеем
(AF)F-I =A = (AF-I)F. (3.5)
Если F' — другое калибровочное преобразование, то калибровочным преобразованием будет и FF' и тогда
(AF^)F = AFF:. (3.6)
Определение 15.3.3. Две квазибиалгебры (А, А, є, Ф) и (А', А',є',Ф') эквивалентны, если существуют калибровочное преобразование F на А' и изоморфизм квазибиалгебр а: А A'F.
Соотношения (3.5), (3.6) означают, что это отношение является отношением эквивалентности. Теперь мы докажем, что эквивалентные квазибиалгебры имеют эквивалентные тензорные категории модулей. 466
Глава 15. Квазибиалгебры
Начнем с предварительных утверждений. Пусть А = (А, А, є, Ф) — некоторая квазибиалгебра и F Є А® А — калибровочное преобразование. Положим
<P%(V,W){v®w) = F~x{v®w), (3.7)
где v и w принадлежат А-модулям V и W соответственно.
Лемма 15.3.4. В сделанных выше предположениях тройка (id, id, <р2) является тензорным функтором из тензорной категории A-Mod в тензорную категорию Ap-Mod.
Доказательство. Вспомним определение 11.4.1. Мы должны проверить соотношения (11.4.1)-(11.4.3), а именно показать, что ц>2(к, V) = = <p2{V, k) = idy и
<P2{U,V®W)(idv®<p2(V,W))aS)ViW =
= auywMU ® V, W)(ip2{U, V) <S> idw), (3.8)
где aF есть условие ассоциативности, задаваемое ассоциатором Фр. Первая пара равенств следует из (3.1) и (3.7). Докажем (3.8). Для всех и ? U, v ? V я w ? W мы имеем
(<P2(U, V <S> WKid1; <8> <pz(V, W)) a ? vw)(u ®v®w) = = (id <g> A)(F~1)F2^f(u <8> v <g> w) = = Ф(A (8) id)(F~l)F{2 {u<8> v <8>w) = = (au,v,w<P2{U ®V,W)(<p2{U,V) ®idw))(u®v®w).
Первое и последнее равенства следуют из (1.5) и (3.7), а второе — из определения Ф/г. ?
Сформулируем первый основной результат настоящего параграфа. Пусть А и А' — эквивалентные квазибиалгебры с калибровочным преобразованием F на А' и изоморфизмом квазибиалгебр а : А —> A1f. Отображение а индуцирует строгий тензорный функтор (a*, id, id) из категории А'р-Mod в A-Mod, как было описано в примере 2 параграфа 11.4. Так кале а является изоморфизмом, а* есть тензорная эквивалентность. 15.3. Калибровочные преобразования
467
Теорема 15.3.5. Тензорный функтор (a*, id, ip2 ) является тензорной эквивалентностью между A1-Mod и A-Mod.
Доказательство. Заменяя F на F-1, что также есть калибровочное преобразование, мы получаем тензорный функтор (id, id, (р2 ) из А'р-Mod в A'-Mod, который оказывается обратным к (id, id, ц>2). Тензорный функтор (a*, id, ip2) есть композиция тензорной эквивалентности (id, id, ip2) : A'-Mod -> A'F-Mod и тензорной эквивалентности (a*, id, id). ?
Теперь мы обобщим понятие калибровочного преобразования на случай сплетенных квазибиалгебр. Рассмотрим сплетенную квазиби-алгебру (А, А, є, Ф, R) с универсальной Д-матрицей R. Для любого калибровочного преобразования F на А определим, как и выше, Af и ФF. Положим также
Rf = F21RF'1. (3.9)
Предложение 15.3.6. Алгебра Af = (A, AF,e^F,RF) является сплетенной квазибиалгеброй.
Доказательство. Соотношения (2.1)-(2.3) для Rf проверяются непосредственно. Можно также действовать следующим образом. Пусть с — сплетение в A-Mod, соответствующее универсальной Д-матри-це R. Зададим отображение Cyw : V <8> W —> ТУ <S> F по формуле cyW(v<g>w) = tv,w{Rf{v®w)). Простое вычисление с применением (3.9) немедленно дает
4,W = іч>2 (V, йог1 о суду о ч>1 (V, W).
Так же, как в доказательстве леммы 13.3.2, можно проверить, что cF является сплетением в категории AF-Mod. В завершение применим предложение 2.2. ?
