Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
idy = (idy ®dy)(by ® idy) = (idy <g> dy) ({9yf <g> idy.)by <8 idy) = Oyf.
Отсюда мы имеем / = Oy2, что и требовалось доказать.
На рис. 3.9 первое равенство следует из (3.1), второе — из предложения 3-ій формулы (3.2), третье — из естественности тензорного произведения, четвертое — из (2.1) и последнее — из естественности сплетения. ? 438
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Рис. 14.3.9. Доказательство равенства ву®уЬу = (?\f <8> idy)i>y
Предложение 14.3.5. В предыдущих предположениях мы имеем
(dy <8 idy)(idy (8) by) = idy (3.7)
и
(idy (8) dy) (by (8) idy) = idy. (3.8)
Доказательство, (а) Из равенств (3.4), (3.5) и естественности тензорного умножения мы получаем
(dy <8 idy) (idy <8 by) =
= (dycyy (ву 1S) idy) <8 idy) (idy <8 (idy <8 Oy)cyyby) =
= OvgOv,
где g — третий член в равенствах из леммы 3.4. Следовательно, мы имеем
(dy <8 idy)(idy (8 b'v) = вуву2ву = idy. 14.3. Ленточные категории
439
(б) Доказательство равенства (3.8) показано на рис. 3.10. Первое равенство имеет место по определению, второе следует из (2.1), третье — из естественности сплетения, четвертое — из леммы 3.4, пятое — из рис. 1.8, и последнее — из соотношения (2.1). ?
У
Рис. 14.3.10. Доказательство соотношения (3.8)
Из предложения 3.5 следует, что ленточная категория автономна в смысле параграфа 2 и *V = V*.
Следствие 14.3.6. Любой объект V ленточной категории изоморфен дважды двойственному к самому себе V** = (V*)*.
Доказательство. В параграфе 2 мы видели, что V = *(V*) в любой автономной тензорной категории. ?
На рис. 3.11 демонстрируются изоморфизмы между V и V**. 440
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Па
,у*
idv
\J
'' V
п±
У
idv
У*
Рис. 14.3.11. Изоморфизмы между У и У*
14.4. Квантовый след и квантовая размерность
По аналогии с параграфом 2.3 определим понятие следа в ленточной категории.
Определение 14.4.1. Пусть С — ленточная категория с единицей I. Для произвольного объекта У из С и любого его эндоморфизма / назовем квантовым следом trq(f) морфизма / элемент
tr,(/) = d'v(f <g> idv)bv = dvcv,v(0vf <8> idv*)bv
полугруппы End(J), то есть композицию морфизмов
I J^ у®у* OvWy , F8F .? у*®у JhL^
В категории Vect/(к) это понятие совпадает с понятием обычного следа (см. предложение 2.3.5). Графическое представление элемента trg(f) дано на рис. 4.1.
Г
/
\J
У
»v л /
S OV
rX
/
VT
Рис. 14.4.1. Квантовый след морфизма / 14.4. Квантовый след и квантовая размерность
441
Здесь первое равенство выполнено по определению, второе — в силу естественности сплетения, третье — в силу естественности скручивания, а последнее — по определению b'v.
Квантовый след обладает свойствами обычного следа, известными из линейной алгебры.
Теорема 14.4.2. Для произвольных эндоморфизмов fug ленточной категории имеют место следующие равенства в полугруппе End(J):
(а) trq(fg) = trq(gf), если определены композиции fg и gf,
(б) tr,(/ ®g) =tr,(/) Щ(д),
(в) tr,(/) = tr,(/*).
Доказательство, (а) Доказательство первого соотношения показано на рис. 4.2.
9 ву
Ov 9
f f
п
XJ
V
Рис. 14.4.2. Доказательство равенства trq(fg) = trq(gf)
Первое равенство имеет место по определению, второе следует из условий (2.1), третье — из естественности сплетения, четвертое — из (2.1), пятое — из естественности сплетения, шестое — из естественности скручивания и последнее выполнено по определению. 442
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
V ®W
Рис. 14.4.3. Доказательство соотношения trд(/ <8 д) = trq(f) <8 tr,(g) 14.4. Квантовый след и квантовая размерность
443
Рис. 14.4.4. Доказательство соотношения tr,(/) = tr,(/*) 444
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
(б) Мы знаем из предложения 11.2.4, что композиция в End(J) совпадает с тензорным произведением. Следовательно, наше утверждение равносильно соотношению tr q(f <g> д) = tr q(f) <g> tr q{g). Доказательство последнего дано на рис. 4.3. Первое и последнее равенства следуют из определения, второе — из формулы (3.1), третье — из (2.1), четвертое, шестое и седьмое — из естественности сплетения.
(в) Доказательство равенства trq(f) = trq(f*) дано на рис. 4.4.
Первое равенство следует из определения, второе — из соотношения (3.2) и предложения 3.1, третье — из (3.8), четвертое — из естественности сплетения, пятое и шестое — из (2.1), седьмое — из определения dy, восьмое — из естественности скручивания и сплетения и девятое — из леммы 3.4. ?
Как и в классическом случае мы можем определить понятие размерности, исходя из понятия следа.
Определение 14.4.3. Пусть С — ленточная категория с единицей J и V — любой объект из С. Назовем квантовой размерностью объекта V (обозначение: dimg(F)) элемент
Из теоремы 4.2 мы немедленно получаем
Следствие 14.4.4. Пусть V,W — объекты ленточной категории. Тогда
dimq(V <8> W) = dim, (F) dim, (W) и dim,(У*) = dim,(V).
dim9(V) = trg(idy) = d'yby, принадлежащий полугруппе End(J).
