Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 130

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 199 >> Следующая


= X^ifeu'' s^tJv) S(si)vi =

= Y,(vl>S(tk)SktjV)S(Sj)Vi = hi,k

= YS(si)S(tk)Sktiv = І,к

= S(sj)utj V

j

і

= = і

= S(u)uv = uS(u)v. ?

Квантовый след и квантовая размерность в категории модулей над ленточной алгеброй задаются с помощью следующего утверждения.

Предложение 14.6.4. Пусть V — произвольный конечномерный модуль над ленточной алгеброй D. Тогда для любого эндоморфизма / модуля V мы имеем

tr,(/) =ti{v ^ 0~luf[v)). В частности, dim9(V") равна следу действия в~1и на V.

Доказательство. Используя определения элементов d'v и и, а также применяя предложение 6.2, мы немедленно получаем

d'y(v <g) a) = ^(tjO!, Sj(T1U) = (а, = (а,иб_1и).

і і 452

Глава 14. Двойственность в тензорных категориях

Следовательно,

Щ(Л = d'yU ®\dv.)bv = Yt(Vi1O-1Ufivi)),

г

что совпадает со следом линейного оператора v O-1Uf(V). ?

В завершение мы приведем два примера ленточных алгебр.

Пример 1. (С вид лер о в екая четырехмерная алгебра Хопфа.) Рассмотрим алгебру Хопфа H из примера 2 параграфа 8.2. Она сплетенная. Непосредственное вычисление показывает, что элемент и\, соответствующий универсальной ії-матрицє R\, не зависит от параметра Л и равен и\ = X = S(их). Поэтому uxS(ux) =X2 = I. Нетрудно проверить, что H является ленточной алгеброй с 0 = 1.

Пример 2. Этот пример принадлежит Решетихину и Тураеву [RT91], В нем участвует алгебра Хопфа Uq, которая есть конечномерная фактор-алгебра алгебры Uq(s\(2)), рассмотренная в параграфе 6.5 в случае, когда q является корнем из единицы. В параграфах 9.6, 9.7 мы доказали, что Uq является сплетенной алгеброй Хопфа, и вычислили ее универсальную ії-матрицу. Мы возобновим обозначения из главы 9. В частности, будем считать, что q есть корень из единицы нечетного порядка d, > 1.

Предложение 14.6.5. Алгебра Хопфа Uq является ленточной алгеброй, в которой 0 = К-1и = uK~l.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Принадлежность элемента в центру следует из (6.4) и из того факта, что для всех х Є Uq имеет место равенство

S2(x) = КхК~\

Немедленно проверяется, что е(0) = 1. Для A(O) мы имеем

A(O) = A(K^)A(u) = (К'1 ® К~х)(и ® и)(Д2іД)_1 = (0 <8> 0)(R2iR)-1.

Остается проверить, что S(O) = 0. Это* равносильно равенству KS(u) = K~lu. Последнее можно проверить непосредственно, применяя соотношения для универсальной Д-матрицы алгебры 14.7. Упражнения

453

Uq, приведенные в параграфе 9.7. Альтернативный способ доказательства содержится в [Dri89a, параграф 5] и состоит, грубо говоря, в следующем: пусть V\ — модуль со старшим весом Л. Тогда КS(и) = SiuK"1) = S(R-1U) действует на двойственном модуле Va* так же, как и K^1U. Но двойственный модуль изоморфен V\. Следовательно, KS(u) действует на V\ как центральный элемент К_1и. Некоторые общие рассуждения (см. [RT91]) позволяют обобщить этот результат на случай произвольного модуля.

Пусть Vn = Vij71 — простой Uq-модуль, определенный нами в параграфе 6.5. Его квантовая размерность равна

(Iimg(V7l) = [n + 1] = 9 ¦

Действительно, согласно предложению 6.4 она равна следу оператора Q-1U. Здесь Q-1U = К. Элемент К действует на Vn диагонально, и его собственные значения суть {qn,qn~2, ¦ ¦ ¦ , <7~™+2, <?""}• Следовательно,

dim9(Vn) = qn + qn~2 + ... + q~n+2 + q~n = -_ = [n + 1].

14.7. Упражнения

1. Для произвольной сплетенной алгебры Хопфа D определим D(O) как фактор-алгебру алгебры многочленов D[в] по двустороннему идеалу, порожденному 62—uS(u). Покажите, что D(O) обладает, и притом единственной, структурой алгебры Хопфа такой, что естественное включение D в D(O) является гомоморфизмом алгебр Хопфа и Д(0) = (R2IR)'1 (в Q в), є(в) = 1, S(O) = в. Докажите, что D(O) является ленточной алгеброй.

2. В предположениях предыдущего упражнения покажите, что ка-

тегория левых /)(#)-модулей эквивалентна категории, объектами

которой являются пары (V, ву), где V — левый D-модуль, а ву —

/5-линейный автоморфизм пространства V такой, что для всех

V Є V имеет место равенство Oy2 (v) = uS(u)v, а морфизмами

(V,9y) —>• (W, Ow) являются D-линейные отображения / из V в W

такие, что fOy = Owf- 454

Глава 14. Двойственность в тензорных категориях

3. Используя определения и обозначения из пункта 14.5.2, вычислите вс®п для п > 1.

4. Для данной конечной абелевой группы А и поля К обозначим через K(A) коммутативную Х-алгебру Х-значных функций на А. Она имеет аддитивный базис {еа}аЄА, умножение в котором задается формулой еаеь = 5а,ьеа для всех а,Ь Є А.

(а) Покажите, что на K(A) существует, и притом единственная, структура алгебры Хопфа такая, что для всех а Є А мы имеем

Д(еа) = Y4 ® Єа~6' ?(еа) = 0, S(ea) = Є_а. ЬеА

(б) Пусть R = Ya,ЬеА С(а> k) еа ® Ч, ГДЄ С - НвКОТОрЭЯ фуНКЦИЯ

со значениями в группе Kx обратимых элементов кольца К. Докажите, что R задает на K(A) структуру сплетенной алгебры Хопфа тогда и только тогда, когда

с(а + a', b) = с(а, b)c(a', Ь) и c(a,b + b') = c(a,b)c(a,b')

для всех a, a', b, Ь' Є А.

(в) Предположим, что K(A) вместе с элементом R из пункта (б) является сплетенной алгеброй Хопфа. Пусть х — групповой гомоморфизм из А в Kx такой, что х(а)2 = 1 Для всех а Є А. Покажите, что элемент в = YaeA х(а)с(а> а)еа задает на K(A) структуру ленточной алгебры.
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed