Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
= X^ifeu'' s^tJv) S(si)vi =
= Y,(vl>S(tk)SktjV)S(Sj)Vi = hi,k
= YS(si)S(tk)Sktiv = І,к
= S(sj)utj V
j
і
= = і
= S(u)uv = uS(u)v. ?
Квантовый след и квантовая размерность в категории модулей над ленточной алгеброй задаются с помощью следующего утверждения.
Предложение 14.6.4. Пусть V — произвольный конечномерный модуль над ленточной алгеброй D. Тогда для любого эндоморфизма / модуля V мы имеем
tr,(/) =ti{v ^ 0~luf[v)). В частности, dim9(V") равна следу действия в~1и на V.
Доказательство. Используя определения элементов d'v и и, а также применяя предложение 6.2, мы немедленно получаем
d'y(v <g) a) = ^(tjO!, Sj(T1U) = (а, = (а,иб_1и).
і і452
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Следовательно,
Щ(Л = d'yU ®\dv.)bv = Yt(Vi1O-1Ufivi)),
г
что совпадает со следом линейного оператора v O-1Uf(V). ?
В завершение мы приведем два примера ленточных алгебр.
Пример 1. (С вид лер о в екая четырехмерная алгебра Хопфа.) Рассмотрим алгебру Хопфа H из примера 2 параграфа 8.2. Она сплетенная. Непосредственное вычисление показывает, что элемент и\, соответствующий универсальной ії-матрицє R\, не зависит от параметра Л и равен и\ = X = S(их). Поэтому uxS(ux) =X2 = I. Нетрудно проверить, что H является ленточной алгеброй с 0 = 1.
Пример 2. Этот пример принадлежит Решетихину и Тураеву [RT91], В нем участвует алгебра Хопфа Uq, которая есть конечномерная фактор-алгебра алгебры Uq(s\(2)), рассмотренная в параграфе 6.5 в случае, когда q является корнем из единицы. В параграфах 9.6, 9.7 мы доказали, что Uq является сплетенной алгеброй Хопфа, и вычислили ее универсальную ії-матрицу. Мы возобновим обозначения из главы 9. В частности, будем считать, что q есть корень из единицы нечетного порядка d, > 1.
Предложение 14.6.5. Алгебра Хопфа Uq является ленточной алгеброй, в которой 0 = К-1и = uK~l.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Принадлежность элемента в центру следует из (6.4) и из того факта, что для всех х Є Uq имеет место равенство
S2(x) = КхК~\
Немедленно проверяется, что е(0) = 1. Для A(O) мы имеем
A(O) = A(K^)A(u) = (К'1 ® К~х)(и ® и)(Д2іД)_1 = (0 <8> 0)(R2iR)-1.
Остается проверить, что S(O) = 0. Это* равносильно равенству KS(u) = K~lu. Последнее можно проверить непосредственно, применяя соотношения для универсальной Д-матрицы алгебры14.7. Упражнения
453
Uq, приведенные в параграфе 9.7. Альтернативный способ доказательства содержится в [Dri89a, параграф 5] и состоит, грубо говоря, в следующем: пусть V\ — модуль со старшим весом Л. Тогда КS(и) = SiuK"1) = S(R-1U) действует на двойственном модуле Va* так же, как и K^1U. Но двойственный модуль изоморфен V\. Следовательно, KS(u) действует на V\ как центральный элемент К_1и. Некоторые общие рассуждения (см. [RT91]) позволяют обобщить этот результат на случай произвольного модуля.
Пусть Vn = Vij71 — простой Uq-модуль, определенный нами в параграфе 6.5. Его квантовая размерность равна
(Iimg(V7l) = [n + 1] = 9 ¦
Действительно, согласно предложению 6.4 она равна следу оператора Q-1U. Здесь Q-1U = К. Элемент К действует на Vn диагонально, и его собственные значения суть {qn,qn~2, ¦ ¦ ¦ , <7~™+2, <?""}• Следовательно,
dim9(Vn) = qn + qn~2 + ... + q~n+2 + q~n = -_ = [n + 1].
14.7. Упражнения
1. Для произвольной сплетенной алгебры Хопфа D определим D(O) как фактор-алгебру алгебры многочленов D[в] по двустороннему идеалу, порожденному 62—uS(u). Покажите, что D(O) обладает, и притом единственной, структурой алгебры Хопфа такой, что естественное включение D в D(O) является гомоморфизмом алгебр Хопфа и Д(0) = (R2IR)'1 (в Q в), є(в) = 1, S(O) = в. Докажите, что D(O) является ленточной алгеброй.
2. В предположениях предыдущего упражнения покажите, что ка-
тегория левых /)(#)-модулей эквивалентна категории, объектами
которой являются пары (V, ву), где V — левый D-модуль, а ву —
/5-линейный автоморфизм пространства V такой, что для всех
V Є V имеет место равенство Oy2 (v) = uS(u)v, а морфизмами
(V,9y) —>• (W, Ow) являются D-линейные отображения / из V в W
такие, что fOy = Owf-454
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
3. Используя определения и обозначения из пункта 14.5.2, вычислите вс®п для п > 1.
4. Для данной конечной абелевой группы А и поля К обозначим через K(A) коммутативную Х-алгебру Х-значных функций на А. Она имеет аддитивный базис {еа}аЄА, умножение в котором задается формулой еаеь = 5а,ьеа для всех а,Ь Є А.
(а) Покажите, что на K(A) существует, и притом единственная, структура алгебры Хопфа такая, что для всех а Є А мы имеем
Д(еа) = Y4 ® Єа~6' ?(еа) = 0, S(ea) = Є_а. ЬеА
(б) Пусть R = Ya,ЬеА С(а> k) еа ® Ч, ГДЄ С - НвКОТОрЭЯ фуНКЦИЯ
со значениями в группе Kx обратимых элементов кольца К. Докажите, что R задает на K(A) структуру сплетенной алгебры Хопфа тогда и только тогда, когда
с(а + a', b) = с(а, b)c(a', Ь) и c(a,b + b') = c(a,b)c(a,b')
для всех a, a', b, Ь' Є А.
(в) Предположим, что K(A) вместе с элементом R из пункта (б) является сплетенной алгеброй Хопфа. Пусть х — групповой гомоморфизм из А в Kx такой, что х(а)2 = 1 Для всех а Є А. Покажите, что элемент в = YaeA х(а)с(а> а)еа задает на K(A) структуру ленточной алгебры.