Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
3. Пусть А = (А, Д, є, Ф, I, г) и А' = (А', Д',є',Ф',/',г') — квазибиалгебры, и пусть а: А А' — гомоморфизм соответствующих алгебр. Предположим, что индуцированный функтор a* : A'-Mod —> A-Mod продолжается до тензорного функтора (a*, id, 9?). Покажите, что в А! ® А' найдется обратимый элемент F такой, что <ръ(и Qv) = F~l(u <g> v). Докажите, что тогда обязательно: еа = є',
(а <8> a)A(a)F = FA'(a(a)), Ф'F12(Д ® id) (F) = F23 (id ® Д)^)а(Ф), І' = а(1)(є' ® id)(F) и г' = a(r)(id®?')(^)-
4. (Калибровочное преобразование квазихопфовой алгебры.) Пусть (А, Д, ?,Ф,5, а,/3) — квазихопфова алгебра, a F = Yhifi®9i — калибровочное преобразование на А с обратным F-1 = fi <g> дг. Положим
aF = Y^Sifi)agt и /3F = J/*). і і
Докажите, что (А, Д, є, Ф^, S1, Af) есть квазихопфова алгебра.
5. Пусть (А, Д, є, Ф, 5, а, /3) — сплетенная квазихопфова алгебра с универсальной Д-матрицей R. Предположим, что Ф-1 = = <8> Yi <8> Zi и R = Sj <g> tj. Положим
и ^^SiYi?SiZiVS^aSjXi.
і,J
Докажите, что элемент и обратим в алгебре А, є[u) = 1 и S2(a) = иаи"1 для всех а Є А. 15.7. Замечания
475
15.7. Замечания
Квазибиалгебры, квазихопфовы алгебры и калибровочные преобразования были придуманы Дринфельдом [Dri89b], [Dri89c], [Dri90] в связи с изучением монодромии системы уравнений Книжника-Замолодчикова (которая будет рассмотрена в главе 19). Дринфельд использовал термин «квазитреугольная квазибиалгебра» для сплетенных квазибиалгебр. В работе [Dri89b, параграф 1] Дринфельд показал, что всегда можно свести случай произвольной квазихопфовой алгебры к случаю квазибиалгебры с I = г = 1.
Альтшулер и Косте [АС92] доказали (см. упражнение 5), что в любой сплетенной квазихопфовой алгебре квадрат антипода является внутренним автоморфизмом (так же, как и в сплетенных алгебрах Хопфа, ср. с параграфом 8.4). Они также ввели понятие ленточных квази-хопфовых алгебр, обобщающее ленточные алгебры из параграфа 14.6. Сплетенная квазихопфова алгебра Duj(G) из параграфа 5 принадлежит Дийкграфу, Пасквайру и Роше [DPR90] и является ленточной квазихопфовой алгеброй, как было показано в [АС92]. Отметим, что если 3-коцикл и меняется на кограницу, то Duj(G) претерпевает калибровочное преобразование. Таким образом, тензорная категория модулей над Duj(G) зависит только от когомологического класса коцикла и.
Упражнение 1 взято из [Res90], а упражнение 4 — из [Dri89b]. Часть IV
Квантовые группы и монодромия Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах 479
Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры
Дринфельда-Джимбо ....................................503
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости....................524
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова . . 561
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант узлов..........605 Глава 16
Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
Для того чтобы сформулировать основной результат части 4, нам нужно ввести понятие квантовой обертывающей алгебры. Это требует использования формальных рядов и /г-адической топологии. Главу завершает добавление об обратных пределах.
16.1. Кольцо формальных рядов и /г-адическая топология
Рассмотрим алгебру К = C[[h]] формальных степенных рядов от одной переменной h с комплексными коэффициентами. Элементы алгебры К имеют вид
/ = 5>п/Л (1.1)
п^О
где (ao,ai,...) есть семейство комплексных чисел, занумерованных
множеством Z_|_ неотрицательных целых чисел. Если /' = Jhn>0 ап^П-
другой формальный ряд, то сумма / 4- /' и произведение //' рядов / и /' в К определяются следующим образом:
/ + /' = xk + a^n и //' = х( x ap<)hn- (1-2)
n^O n^O p+q=n
Любой многочлен от h можно рассматривать как элемент алгебры К. В частности, константа 1 есть элемент алгебры К, относительно умножения в которой он является единицей, как легко можно видеть из (1.2). Следующее утверждение дает критерий обратимости элементов в К.
Лемма 16.1.1. Формальный ряд / = Yn>oanhn обратим в С[[Л]] тогда и только тогда, когда uq ф 0 в С. 480
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Формальный ряд / обратим тогда и только тогда, когда найдется другой ряд g = Yhn^o ^nhn такой, что fg = 1. Из (1.2) мы видим, что это равносильно существованию бесконечной последовательности (&о,г>1,...) комплексных чисел такой, что афа = 1 и
аоЬп + aibn-i + ... + an_i&i + anb0 = 0 (1.3)
для всех п > 0. Из соотношения ао&о = 1 видно, что обратимость ао является необходимым условием для обратимости /. Это условие также и достаточно, поскольку последовательность (&o,6i,...) определяется по индукции, начиная с &о = Oq при помощи соотношения (1.3). ?
Лемму 1.1 можно интерпретировать так, что К есть локальное кольцо, максимальный идеал которого (Zi) порожден элементом Zi.
Для произвольного натурального п рассмотрим алгебру усеченных многочленов Kn = C[h]/(hn), полученную факторизацией алгебры комплексных многочленов от одной переменной по идеалу, порожденному Zin. Имеет место гомоморфизм алгебр пп из К в Kn, отправляющий формальный ряд / = Yhn^о anhn в класс эквивалентности многочлена YhJk=о akhk по модулю (Zin). Это отображение сюръективно, а его ядро есть идеал hnK, порожденный элементом hn в кольце формальных степенных рядов. Следовательно, 7ГП индуцирует изоморфизм алгебр
