Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
C[[h}}/(hn)*C[h]/(hn). (1.4)
Для п > 0 имеется также эпиморфизм алгебр рп из Kn в -Kn-I, индуцированный включением идеалов (Zin) С (Zin-1). Рассмотрим обратную систему алгебр (Кп,рп)п и ее обратный предел Iim Kn, который
п
определен в параграфе 9. Мы имеем рп о пп = 7ГП_ і для всех п. Из предложения 9.1 следует, что существует, и притом единственный, гомоморфизм алгебр 7Г из К в Iim Kn, композиция которого с проекцией
п
обратного предела на Kn совпадает с ттп.
Предложение 16.1.2. Отображение 7г: C[[Zi]] -» limC[Zi]/(Zin) является изоморфизмом алгебр. п
Доказательство. Отображение тт инъективно, так как его ядро, будучи пересечением всех идеалов (Zin), нулевое ввиду (1.2). 16.1. Кольцо формальных рядов и h-адическая топология
481
Для доказательства сюръективности отображения 7Г мы построим к нему правое обратное следующим образом. Пусть (fn)n>о — элемент обратного предела (определение см. в параграфе 9). По определению /п принадлежит Kn, что позволяет представить его в виде
k-О
и для всех п > 0 мы имеем Pnifn) = /п-1- Следовательно, a^ = а^n где к пробегает от 0 до п — 2. Следовательно, мы можем задать формальный ряд / = X^n>o anhn условием ап = = = ... Тогда будем иметь 7г(/) = (fn)n. ?
Предложение 1.2 позволяет снабдить К топологией обратного предела, описанной в параграфе 9. Эта топология называется h-адической. По определению семейство подмножеств 7Tn1(Un), где п > 0, a Un — произвольное подмножество в Kn, образует базис открытых множеств в К. Так как {0} является базой открытых окрестностей в дискретном множестве Kn, TT^1(O) = (hn) есть база открытых окрестностей точки 0 в К в /г-адической топологии. Отсюда легко видеть, что h-ади-ческая топология является метрической, а метрику можно определить следующим образом. Для произвольного ненулевого формального ряда / = Xm>o anhn пусть w{f) — единственное неотрицательное целое такое, что аш(/) ф 0 и а^ = 0 для всех k < и>(/). Если / = 0, то мы полагаем ш(0) = +оо. Продолжим естественное упорядочение множества Z_|_ на Z_|_ U {+оо} требованием, чтобы для всех п Є Z+ выполнялось +OO > п. Нетрудно видеть, что
ihn) = {f eK\u(f)>n- 1}. (1.5)
Как следствие, мы получаем
Г>П) = {°} (1-6)
п>0
— тривиальное утверждение, уже использовавшееся при доказательстве предложения 1.2. Мы также имеем
u(f + g)> min(w(/),w(s))
(1.7) 482 Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
для всех f,g € К. Определим отображение | | из К в множество неотрицательных вещественных чисел равенством
если / ф 0, и 1/1 = 0, если / = 0. Следующее утверждение является непосредственным следствием предыдущего рассуждения.
Лемма 16.1.3. Для всех / и g из К мы имеем
В качестве следствия мы получаем расстояние в К. А именно:
Следствие 16.1.4. Положим d(f,g) = |/ — g\ для всех f,g Є С[[/і]]. Тогда d является ультраметрическим расстоянием на с[[л]], то есть выполнены аксиомы
малъных степенных рядов.
Расстояние d задает метрику на C[[/i]]. Из его определения и (1.5) очевидно, что семейство идеалов (hn) является базой окрестностей точки 0 и в метрической топологии. Следовательно, последняя эквивалентна /г-адической топологии.
16.2. Топологически свободные модули
Пусть M — модуль над алгеброй К = C[[/i]]. Рассмотрим семейство (hnM)n>о подмодулей и канонические К-линейные проекции
Они образуют обратную систему UT-модулей, и можно рассмотреть ее обратный предел
|л = 2-ичя
(1.8)
|/|=0^/ = 0, |-/| = |/|, \f + g\^max(\f\,\g\)-
рп:Мп = MfhnM Mn-1 = M/hn~lM.
M = lim M7
Tli
(2.1)
n 16.2. Топологически свободные модули
483
который имеет естественную структуру .ЙГ-модуля. Обратный предел M естественным образом наделяется топологией — топологией обратного предела, — для которой, как и в параграфе 1, легко видеть, что семейство подмодулей (hnM)n является базой открытых окрестностей точки О Є M. Модуль M называется h-адическим пополнением модуля М.
Проекции in : M —> Mn индуцируют корректно определенное К-линейное отображение і'. M —> M такое, что 7ГП о і = іп для всех п. Ядро отображения і есть
Кег(г) = Pl hnM. п> о
Определение 16.2.1. К-модуль M называется отделимым, если Пп>о hnM = {0}. Модуль называется полным, если отображение г сюръективно.
Для любого модуля M модуль М/(Пп>о hnM) отделимый, а пополнение M полно. Действительно, рассмотрим проекцию пп : M -> Mn. Ее ядро есть hnM, откуда имеет место изоморфизм модулей
(2.2)
Взяв обратный предел, получаем M = М, откуда модуль M полный.
Каждый отделимый полный К-модуль мы будем наделять топологией, называемой /г-адической топологией, происходящей из топологии обратного предела на M при изоморфизме M = М.
Теперь мы опишем важный класс отделимых полных К-модулей. Он включает саму алгебру К, действующую на себе левыми сдвигами. Возьмем произвольное векторное пространство V. Определим У [[/г]] как множество формальных степенных рядов вида
(2.3)
где [vo, Vi,...) — бесконечная последовательность из элементов пространства V. С помощью формулы (1.2) на V[[/i]] можно задать структуру ІГ-модуля. Произвольный UT-модуль такого вида мы будем называть топологически свободным. Сама алгебра К получится, если взять F = C
