Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
PnViXui ® • ¦. ® Vn) = {R'u(vi ® ... ® и„))21 =
= ((Ffl1 (а ® a)(R)l2Fl2)(vі ® ... ® un))21 = = Ff21 ((а ® a)(R)12(Fl2(vі ® ... ® «п)))21 =
= Ff2lPn Ы «п)). ? 15.5. Квазихопфовы алгебры
471
Должно быть очевидно, что формула в теореме 4.2 зависит от того, как мы расставим скобки в произведении У®". Другой способ расстановки скобок дает отличное, но эквивалентное представление группы кос.
15.5. Квазихопфовы алгебры
Для полноты картины мы введем понятие квазихопфовой алгебры, следуя Дринфельду [Dri89b]. Как и выше, все рассматриваемые здесь квазибиалгебры имеют тривиальные условия единиц, то есть I = г = 1.
Определение 15.5.1. Квазибиалгебра (А, Д,є,Ф) называется квазихопфовой алгеброй, если имеется обратимый антиавтоморфизм S алгебры А и элементы а,{3 Є А такие, что для любого элемента а алгебры А имеют место равенства
Y S{a')aa" = є(а)а, ^ a'?S(a") = z(a)? (5-1)
(a) (a)
и
E XiPS(Yi)aZi = 1, Y S(Xi)aYiPS(Zi) = 1, (5.2)
і і
где Ф = Yi Xi Q Yi ® Zi и Ф-1 = Yi XiQYiQ Zi. Квазихопфова алгебра называется сплетенной, если такова соответствующая квазибиалгебра.
Полный набор данных, составляющих квазихопфову алгебру, мы будем записывать в виде (А, А, є, Ф, S, а, ?). Как в параграфе 14.2, рассмотрим категорию A-Modf левых А-модулей, являющихся конечномерными векторными пространствами над основным полем к. Снабдим эту категорию тензорной структурой, индуцированной АиФ. Для произвольного объекта У категории A-Modf рассмотрим объекты У* и *У, которые были определены в примере 1 параграфа 14.2. Зададим отображения by : k ->¦ У Q У*, dv : У* Q У ->¦ к, 6'у: к ->¦ *У Q У и d'y : У Q *У —> к следующим образом:
V(I) = Y^vi dv^yi ®vi) = (vi'avi)>
і
b'v(l) = ХУ ® S~\?)vi, d'y (Vi Q vi) = (vi, S-1^vi), 472
Глава 15. Квазибиалгебры
где {vi}i — некоторый базис пространства V, a {ьг}і — базис, двойственный к нему.
Предложение 15.5.2. Отображения by, dy, b'v и d'v являются А-ли-нейными и все композиции отображений
V = k®V -? (V®V*)®V V®(V*®V) V ®k~ V,
V* = V*®k ^%V*®(V®V*) (V*®V)®V*
V = VQk -^ V®(*V®V) (V®*V)®V d[, ®id ———> k®V^V,
k®*V 6',, (»id (*V®V)®*V *V®(V®*V) id® d'v -^ *V®k~*V
являются тождественными.
Доказательство. Первое утверждение следует из соотношений (5.1), а второе — из (5.2). ?
Рассмотрим сплетенную тензорную категорию A-Modf, ассоциированную с квазихопфовой алгеброй А, а также строгую сплетенную тензорную категорию (A-Modf)str. Предложение 5.2 можно интерпретировать следующим образом: строгая сплетенная тензорная категория (A-Modf)str автономна, то есть обладает левой и правой двойственностью, которые задаются отображениями by, dy, b'v и d'v.
Мы завершаем этот параграф нетривиальным примером сплетенной квазихопфовой алгебры, близкой к квантовому дублю групповой алгебры k[Gr] конечной группы G. Предположим, что нам дан нормированный 3 -коцикл на группе G, то есть функция и>: G х G х G —>к \ {0} такая, что
ш(х, у, z)w(tx, у, z)_1 u(t, ху, z)u>(t, X, yz)~lw{t, х,у) = 1 (5.3)
для всех t, x,y,z Є G, и такая, что ш(х, у, z) = 1, если один из элементов X, у или Z равен 1. Рассмотрим конечномерное векторное пространство Dw(G) с базисом {eg?}(s,x)eGxG) пронумерованным множеством GxG. Зададим умножение в Dw(G) по формуле
(egx)(ehy) = 6д!хНх-іЄ(д, X, у) ед(ху), (5.4) 15.6. Упражнения
473
где в(д,х,у) = и>(д,х,у)и>(х,у, (ху) 1дху)ш(х,х 1дх,у) 1. Легко проверить, что это умножение ассоциативно и обладает левой и правой единицей, равной 1 = YgeGeS^-- Заметим, что в случае тривиального коцикла и, то есть если а>(х, у, z) = 1 для всех х, у, z, алгебра Du3(G) изоморфна квантовому дублю .D(k[(7]) (см. пункт 9.4.3). В противоположность тривиальному случаю отображение, отправляющее х в YgeG е9х-> вообще говоря, не является гомоморфизмом из алгебры k[G] в Du(G), но гомоморфизмом будет ед н-» ед1, что позволит нам отождествлять ед1 с ед.
Зададим гомоморфизмы алгебр A: Duj(G) Dui(G) QDui(G) и є: Dw(G) —> к формулами:
А(едх) = X l(x,uiv) еиХ ® evx и е(едх) = 8gti, (5.5)
uv=g
где 7(x,u,v) = u}(u,v,x)u}(x,x~1ux,x'1vx)u>(u,x,x~1vx)'1. Положим также
Ф= X u(x,y,z)~lex ®еу ®ez, R = Ye9 ® (5-6)
x,y,zeG geG h
a = 1 и ? = YgeG^idid-1 id)e9- Антиавтоморфизм S алгебры Dui(G) зададим по формуле
S(egx) = в(д~1,х,х"1)'1'у(х,д,д~1)~1 Cx-IgxX'1. (5.7)
Тогда (Dui(G), А, є, Ф, S, а, ?) будет сплетенной квазихопфовой алгеброй с универсальной Д-матрицей R в смысле определений 1.1, 2.1 и 5.1.
15.6. Упражнения
1. Пусть (А, А, є, S) — некоторая алгебра Хопфа, a F = Yi fi® 9i ^ Є А ® А — калибровочное преобразование такое, что
F23 (idA ® A)(F) = F12 (А ® idА)(F).
Рассмотрим элемент х = Yi JiS(Qi) алгебры А. Покажите, что он обратим и что (А, Ар, є, Sf) также является алгеброй Хопфа, где Sf(ci) = xS(a)x~l для всех а € А. 474
Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
2. Покажите, что если (А, Д, є, Ф) — квазибиалгебра, то каждый из наборов (A0Р, Д, є, Ф"1), (А, Д°р, є, (Ф321Г1) и (А°р, Д°р, є, Ф321) также является квазибиалгеброй.
