Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
14.3. Ленточные категории
Пусть С — строгая тензорная категория. Предположим, что она одновременно сплетенная и обладает левой двойственностью. Пусть V и W — ее объекты. Следующее утверждение выражает сплетение CV1W для двойственного объекта V* через сплетение Cyys-
29 Точнее говоря, структура категории с левой двойственностью возникает на категории (A-Mod/)str, а не на категории A-Mod/, которая не является строгой тензорной категорией. Аналогичным образом автор не делает далее различия между эквивалентными категориями С и Cstr, если С есть тензорная подкатегория категории Vectf, где в качестве условий ассоциативности, левой и правой единиц выступают канонические изоморфизмы (U <8> V) <g> W = U <8> (V <8> W), к<8>УйУиУ®к = Уиз предложения 2.1.3. — Прим. перев.434
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Предложение 14.3.1. В сделанных выше предположениях мы имеем
cy,w = (dv ® icW®v)(idy
cVJV
idy») (idy»
®w
bv)-
Договоримся представлять морфизм cy,w и обратный к нему, как показано на рис. 3.1. Графически предложение 3.1 выглядит, как показано на рис. 3.2. Тогда графическое доказательство выглядит, как показано на рис. 3.3. Первое равенство следует из (2.1), второе — из рис. 1.8 и последнее — из естественности сплетения с.
V / \ W W
CV',W
Рис. 14.3.1. Морфизм су,W и обратный к нему
.У
W
Рис. 14.3.2. Равенство из предложения 3.1
V W V ^W
Рис. 14.3.3. Доказательство предложения 3.1
Сделаем еще один шаг и введем понятие ленточной категории.
Определение 14.3.2. Пусть (C,<g)J) — строгая сплетенная тензорная категория с левой двойственностью.
(а) Скручивание — это семейство ву V —>• V естественных изоморфизмов, занумерованных объектами V категории С, такое, что
и
&v®w — (&v <S> Qw)cw,vcv,w 6v = {?vY
(3.1)
(3.2)
для всех объектов V, W из С.
(б) Ленточной категорией называется строгая сплетенная тензорная категория с левой двойственностью и скручиванием.14.3. Ленточные категории
435
Естественность скручивания означает, что для любого морфизма / : V —>• W мы имеем Owf = fOv- Используя графические обозначения из параграфов 1, 2 можно изобразить соотношения (3.1), (3.2) как показано на рис. 3.4 и 3.5.
Рис. 14.3.4. Соотношение (3.1)
V
Рис. 14.3.5. Соотношение (3.2)
В следующем утверждении дана альтернативная запись соотношения (3.1).
Лемма 14.3.3. (а) Для любых объектов VuW категории С мы имеем
Ovgw = cw,vcv,w{8v ® Ow) = cw,v(0w <8 Ov)cytw- (3.3)
(б) Мы также имеем #/ = id/.
Доказательство, (а) Смотри рис. 3.6. Все равенства следуют из естественности сплетения и скручивания.
(б) Используя соотношение (3.1), в котором положено V = W = I, получаем
Oigi = (Oi <8> Oi)ci jcij.
Так как cij = id/ (согласно предложению 13.1.2), из естественности отождествления V ® I с V мы получаем Ojgi = Oi ® idi = 0і®0і, откуда следует требуемое утверждение. ?
Пример 1. Пусть Vectf (к) — категория конечномерных векторных пространств над полем к. Как мы знаем, она сплетена относительно переставляющего отображения и обладает левой двойственностью, заданной формулами (2.8). Эта категория является ленточной с тривиальным скручиванием ву — id у.436
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
V
W
У W
Ow
V W
У
W
У
W
Рис. 14.3.6. Доказательство леммы 3.3 (а)
пример 2. Любая симметрическая тензорная категория С с левой двойственностью является ленточной относительно скручивания, заданного формулой Qy — idy для всех объектов V. В этот класс попадает категория A-Modf конечномерных модулей над кокоммутативной алгеброй Хопфа или над сплетенной алгеброй Хопфа А с универсальной Д-матрицей R, такой, что ta,a(R) — -R-1 (см. упражнение 1 в главе 13).
Используя сплетение и скручивание, зададим морфизмы b'v: 1-ї —> V*®V и d'v : V®V* —> I для каждого объекта ленточной категории С формулами
by = (idy» <g)Qv)cvy*bv,
dy = dvcyy* (&v <8> idy»).
(3.4)
(3.5)
У
у
Vv
Рис. 14.3.7. Морфизмы by и d'v
Договоримся изображать морфизмы b'v и dy, как показано на рис. 3.7.
Докажем, что морфизмы by и dy задают на С структуру категории с правой двойственностью, где *У = V*.14.3. Ленточные категории
437
Перед тем как сформулировать точное утверждение, докажем следующую техническую лемму.
Лемма 14.3.4. Для любого объекта V ленточной категории имеют место равенства
Oy2 = (dy <8 idy)(idy» <8 Суу)(суу*Ъу <8 idy) = = (dycyy <8) idy) (idy <8 суу by) = = (idy <8 dycytv*)(cyly <8 idy)(idy <8 by).
Доказательство. Равенства из этой леммы представлены графически на рис. 3.8. Из этого рисунка видно, что естественность сплетения влечет последние два равенства. Поэтому достаточно доказать первое.
V V
Рис. 14.3.8. Равенства из леммы 3.4
Из естественности скручивания и утверждения леммы 3.3 (б) мы получаем
by = Ьуві = Oygyby. (3.6)
Обозначим через / второй член в равенствах из леммы 3.4. На рис. 3.9 показано, что правая часть (3.6) равна (Oyf <8 idу*)6у. Следовательно, дважды применяя соотношения (2.1), мы получим