Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 126

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 199 >> Следующая


14.3. Ленточные категории

Пусть С — строгая тензорная категория. Предположим, что она одновременно сплетенная и обладает левой двойственностью. Пусть V и W — ее объекты. Следующее утверждение выражает сплетение CV1W для двойственного объекта V* через сплетение Cyys-

29 Точнее говоря, структура категории с левой двойственностью возникает на категории (A-Mod/)str, а не на категории A-Mod/, которая не является строгой тензорной категорией. Аналогичным образом автор не делает далее различия между эквивалентными категориями С и Cstr, если С есть тензорная подкатегория категории Vectf, где в качестве условий ассоциативности, левой и правой единиц выступают канонические изоморфизмы (U <8> V) <g> W = U <8> (V <8> W), к<8>УйУиУ®к = Уиз предложения 2.1.3. — Прим. перев. 434

Глава 14. Двойственность в тензорных категориях

Предложение 14.3.1. В сделанных выше предположениях мы имеем

cy,w = (dv ® icW®v)(idy

cVJV

idy») (idy»

®w

bv)-

Договоримся представлять морфизм cy,w и обратный к нему, как показано на рис. 3.1. Графически предложение 3.1 выглядит, как показано на рис. 3.2. Тогда графическое доказательство выглядит, как показано на рис. 3.3. Первое равенство следует из (2.1), второе — из рис. 1.8 и последнее — из естественности сплетения с.

V / \ W W

CV',W

Рис. 14.3.1. Морфизм су,W и обратный к нему





W

Рис. 14.3.2. Равенство из предложения 3.1

V W V ^W

Рис. 14.3.3. Доказательство предложения 3.1

Сделаем еще один шаг и введем понятие ленточной категории.

Определение 14.3.2. Пусть (C,<g)J) — строгая сплетенная тензорная категория с левой двойственностью.

(а) Скручивание — это семейство ву V —>• V естественных изоморфизмов, занумерованных объектами V категории С, такое, что

и

&v®w — (&v <S> Qw)cw,vcv,w 6v = {?vY

(3.1)

(3.2)

для всех объектов V, W из С.

(б) Ленточной категорией называется строгая сплетенная тензорная категория с левой двойственностью и скручиванием. 14.3. Ленточные категории

435

Естественность скручивания означает, что для любого морфизма / : V —>• W мы имеем Owf = fOv- Используя графические обозначения из параграфов 1, 2 можно изобразить соотношения (3.1), (3.2) как показано на рис. 3.4 и 3.5.

Рис. 14.3.4. Соотношение (3.1)

V

Рис. 14.3.5. Соотношение (3.2)

В следующем утверждении дана альтернативная запись соотношения (3.1).

Лемма 14.3.3. (а) Для любых объектов VuW категории С мы имеем

Ovgw = cw,vcv,w{8v ® Ow) = cw,v(0w <8 Ov)cytw- (3.3)

(б) Мы также имеем #/ = id/.

Доказательство, (а) Смотри рис. 3.6. Все равенства следуют из естественности сплетения и скручивания.

(б) Используя соотношение (3.1), в котором положено V = W = I, получаем

Oigi = (Oi <8> Oi)ci jcij.

Так как cij = id/ (согласно предложению 13.1.2), из естественности отождествления V ® I с V мы получаем Ojgi = Oi ® idi = 0і®0і, откуда следует требуемое утверждение. ?

Пример 1. Пусть Vectf (к) — категория конечномерных векторных пространств над полем к. Как мы знаем, она сплетена относительно переставляющего отображения и обладает левой двойственностью, заданной формулами (2.8). Эта категория является ленточной с тривиальным скручиванием ву — id у. 436

Глава 14. Двойственность в тензорных категориях

V

W

У W

Ow

V W

У

W

У

W

Рис. 14.3.6. Доказательство леммы 3.3 (а)

пример 2. Любая симметрическая тензорная категория С с левой двойственностью является ленточной относительно скручивания, заданного формулой Qy — idy для всех объектов V. В этот класс попадает категория A-Modf конечномерных модулей над кокоммутативной алгеброй Хопфа или над сплетенной алгеброй Хопфа А с универсальной Д-матрицей R, такой, что ta,a(R) — -R-1 (см. упражнение 1 в главе 13).

Используя сплетение и скручивание, зададим морфизмы b'v: 1-ї —> V*®V и d'v : V®V* —> I для каждого объекта ленточной категории С формулами

by = (idy» <g)Qv)cvy*bv,

dy = dvcyy* (&v <8> idy»).

(3.4)

(3.5)

У



у

Vv

Рис. 14.3.7. Морфизмы by и d'v

Договоримся изображать морфизмы b'v и dy, как показано на рис. 3.7.

Докажем, что морфизмы by и dy задают на С структуру категории с правой двойственностью, где *У = V*. 14.3. Ленточные категории

437

Перед тем как сформулировать точное утверждение, докажем следующую техническую лемму.

Лемма 14.3.4. Для любого объекта V ленточной категории имеют место равенства

Oy2 = (dy <8 idy)(idy» <8 Суу)(суу*Ъу <8 idy) = = (dycyy <8) idy) (idy <8 суу by) = = (idy <8 dycytv*)(cyly <8 idy)(idy <8 by).

Доказательство. Равенства из этой леммы представлены графически на рис. 3.8. Из этого рисунка видно, что естественность сплетения влечет последние два равенства. Поэтому достаточно доказать первое.



V V

Рис. 14.3.8. Равенства из леммы 3.4

Из естественности скручивания и утверждения леммы 3.3 (б) мы получаем

by = Ьуві = Oygyby. (3.6)

Обозначим через / второй член в равенствах из леммы 3.4. На рис. 3.9 показано, что правая часть (3.6) равна (Oyf <8 idу*)6у. Следовательно, дважды применяя соотношения (2.1), мы получим
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed