Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Квантовая размерность объекта V изображена на рис. 4.5.
Рис. 14.4.5. Квантовая размерность объекта V 14.5. Примеры ленточных категорий
445
14.5. Примеры ленточных категорий 14.5.1. Ленточки
В параграфе 10.8 мы ввели понятие оснащенных плетений, называемых также ленточками, и описали, как ленточки можно представлять с помощью диаграмм плетений. Теперь мы хотим показать, что ленточки позволяют построить ленточную категорию TZ, которая является универсальной для ленточных категорий так же, как категория кос В универсальна для сплетенных тензорных категорий.
Категория ленточек TZ определяется так же, как была определена категория плетений T в параграфе 12.2: объекты в TZ такие же, как и в Т; морфизмами в TZ являются изотопические классы оснащенных плетений. Композиция, тождественные морфизмы, тензорное умножение и единичный объект определяются точно так же, как в T- Сплетение в категории кос В (см. параграф 13.2), очевидно, задает сплетение в TZ.
Снабдим строгую сплетенную тензорную категорию TZ левой двойственностью. Пусть є — объект категории TZ, то есть конечная последовательность (єі,... , єп) знаков ±. Двойственным объектом є* будет последовательность (—єп,... , —Єї). Отображения b? : 0 —> є <8> є* и d? : є* <8> є —>• 0 суть оснащенные плетения, изображенные на рис. 5.1, где ориентация нитей определяется однозначно последовательностью знаков є.
Нетрудно проверить, что отображения Ьє и d? удовлетворяют соотношению (2.1), таким образом задавая на TZ структуру строгой сплетенной тензорной категории с левой двойственностью. Заметим, что транспонированная к L ленточка L* изотопна ленточке, получающейся поворотом L на угол ж вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции.
be
Рис. 14.5.1. Оснащенные плетения Ьє и dt
¦є 446
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Скручивание на TZ задается следующим образом: есть левая
ленточка на рис. 10.8.1, ориентированная сверху вниз (представленная также на левой диаграмме плетения на рис. 10.8.2). Правая ленточка на рис. 10.8.1, ориентированная сверху вниз, задает морфизм, обратный к #(+) (он представлен также правой диаграммой на рис. 10.8.2). Чтобы определить скручивание для произвольного объекта, будем использовать соотношения (3.1), (3.2). Проверьте, что если є имеет длину п, то Oe получается перекручиванием на угол 2ж всей полосы, содержащей п вертикальных плоских ленточек.
Квантовый след и квантовая размерность определяются для ленточной категории TZ формулами из параграфа 4. Используя движения Райдемайстера (I') и (II), можно проверить, что если L — ленточка, для которой s(L) = b(L), то квантовый след trq(L) есть замыкание L, показанное на рис. 5.2. Квантовыми размерностями являются тривиальные зацепления с оснащением, направленным к наблюдателю.
Категория TZ имеет два свойства универсальности, подобных свойствам категории В, обсуждавшимся в параграфе 13.3. Мы сформулируем первое из них, аналогичное следствию 13.3.8. Второе свойство, которое соответствует теореме 13.4.2, см. в [JS91c], [Тиг89].
Теорема 14.5.1. Пусть С — ленточная категория, V — некоторый ее объект. Тогда существует, и притом единственный, строгий тензорный функтор Fy из TZ в С, сохраняющий сплетение, левую двойственность и скручивание, такой, что Fy((+)) = V.
Доказательство теоремы 5.1 можно найти в нескольких работах: [FY89], [JS93], [RT90], [RT91], [Shu90], [Тиг94]. Эта теорема позволяет находить изотопические инварианты оснащенных зацеплений со значениями в полугруппе эндоморфизмов единичного объекта I. Действительно, пусть L — оснащенное зацепление. Его можно рассматривать как эндоморфизм единичного объекта 0 категории TZ. Образ Fy(L) этого эндоморфизма есть эндоморфизм объекта I. Изотопический инвариант Fy(L) можно вычислить, пользуясь алгоритмом: возьмем плоскую диаграмму, представляющую данное оснащенное зацепление L, и
Рис. 14.5.2. Квантовый след trq(L) 14.5. Примеры ленточных категорий
447
припишем каждой его связной компоненте цвет — объект V. В категории TZ оснащенное зацепление L представляется композицией и тензорным произведением морфизмов 4-, ti Х+, U, П, скручивания и т.д. Тогда, заменив эти диаграммы соответственно на idy, idy*, суу, by,dy,0y> и т. д. в категорном представлении L, мы получим Fy(L).
Категория плетений T также является ленточной категорией. Единственное отличие от TZ состоит в скручивании: в категории T мы имеем вщ = id(±). Для произвольного объекта в T скручивание определяется из формул (3.1), (3.2). Для категории T имеет место утверждение, аналогичное теореме 5.1. Нужно только заменить TZ на T и добавить предположение Qy = idy в категории С.
14.5.2. Скрещенные G-множества
В пункте 13.1.4 мы рассматривали категорию Xq(G) скрещенных G-множеств, где G — некоторая группа. Предположим, что группа G конечна. Исходя из категории Xq(G), мы построим ленточную категорию Z[Xg(G)]. Объекты в ней такие же30 , как и в Xq(G), а именно счетное множество скрещенных множеств {1, G, С?®2,... }. Морфизм Q®m Q0Ti в i\Xg(G)] есть целочисленная матрица М, элементы которой занумерованы парами (х, у) Є Gn х Gm, такая, что Mxgm = MXtV для всех д Є G и Mx,у = 0, если |ж| ф |у|. Композиция задается умножением матриц. Категория Z[Xc(G)] является строгой тензорной категорией. Заметим, что полугруппа End(I) совпадает с кольцом Z. Сплетение в Xg(G) линейно продолжается до сплетения в Z[Xg(G)].
