Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Зададим двойственность следующим образом: двойственным к G®n будет то же самое G-множество G®n с отображением | |, замененным на I |-1. Отображения bG®n и d,Q®n задаются соответственно формулами
bG®n(l)= Y І9і,-•• ,9n,9i,--- ,ffn)
Sb--- ,SnGG
и
dG®n(gi,... , gn,h\,... ,hn) = Sgiyhl ---Sgnthn.
30 He совсем такие же: объектами этой категории являются скрещенные множества с теми же носителями Gk, но в качестве | | теперь берутся всевозможные отображения вида <7i ... gic 9є„\і) ¦ ¦ ¦ 9a\k), где er Є Sk — произвольная перестановка и е, = ±1 для і = 1,... ,к. — Прим. перев. 448
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Соотношения (2.1) удовлетворены. Скручивание 6q® п определяется индукцией по п из формулы (3.1) и по его начальному значению Oq = idg[G] ¦ Можно проверить, что квантовая размерность каждого объекта равна его мощности как конечного множества 31 :
Применим теорему 5.1 к объекту G ленточной категории Z[Xq(G)]. Для каждого (оснащенного) зацепления L мы получим некоторый эндоморфизм Fq(L) единичного объекта {1}, то есть целое число. Мы предлагаем читателю для нескольких простых зацеплений вычислить этот изотопический инвариант, используя алгоритм, описанный выше. Например, Fg(L) равно числу пар (ді,д2) Є GxG таких, что gig2 = <7291, если L — зацепление Хопфа, и таких, что д\д2дї1 = д21дгд2, если L — узел трилистник. Фрейд и Йеттер [FY89] доказали, что для произвольного зацепления L эндоморфизм Fq(L) есть число гомоморфизмов из фундаментальной группы зацепления L в группу G.
14.6. Ленточные алгебры
Мы завершаем эту главу несколькими примерами ленточных категорий, состоящих из модулей над сплетенными алгебрами Хопфа (определение которых дано в параграфе 8.2). Пусть D — сплетенная алгебра Хопфа с универсальной Л-матрицей R = Yhi Si ® U Є D ® D. Положим
Мы показали в параграфе 8.4, что и — обратимый элемент алгебры D, обратный к которому есть
dimg(g®") = card(G)".
(6.1)
(6.2)
что uS(u) = S(u)u — центральный элемент в D и что е(и) = \ и A(u) = (R2iR)'1 (и® и).
(6.3)
31 To есть числу элементов этого множества. — Прим. ред. 14.6. Ленточные алгебры
449
Кроме того, квадрат антипода действует на произвольный х Є D по формуле
S2{x) = uxu-\ (6.4)
Определение 14.6.1. Сплетенная алгебра Хопфа D называется ленточной алгеброй, если в ней имеется обратимый центральный элемент О, удовлетворяющий соотношениям
A(O) = (R2IR)'1 (в® в), є(б) = 1 и S(O) = O. (6.5)
Ленточные алгебры порождают ленточные категории.
Предложение 14.6.2. Для любой ленточной алгебры D тензорная категория D-Modf является ленточной категорией относительно скручивания Oy, которое на каждом D-модуле V задается умножением на элемент, обратный к центральному элементу 9.
Обратно, если D — конечномерная сплетенная алгебра Хопфа и сплетенная категория D-Modf с левой двойственностью является ленточной, то D — ленточная алгебра.
Доказательство, (а) Пусть D — ленточная алгебра с выделенным центральным элементом 0. Сплетение и двойственность задаются в категории D-Modf так же, как было описано в пункте 13.1.3 и примере 1 из параграфа 14.2. Зададим скручивание Oy для произвольного D-модуля V по формуле
ev(v) = O-1v,
где v Є V.
Эндоморфизм Oy является D-линейным, так как элемент 0 центральный и обратимый. Используя (6.5), докажем соотношения (3.1), (3.2). Мы имеем
(ву <g> dw)cw,vcv,w(v ®w) = (0'1 <g> в~1X-R2I-RXv <8> го) =
= Д(6»_1)(г; <8> ш) = = 9v®w(v <8 го). 450
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Что же касается (3.2), то для любых v Є V и а Є V* мы имеем
((0vna),V) = (a,M«)> =
= (a,e~lv) = = (a,S(0~l)v> = = (0~la, v) = = (0v.a,v).
(б) Предположим теперь, что алгебра D конечномерна, а D-Modf есть ленточная категория. Из предложения 13.1.4 мы знаем, что алгебра D сплетенная. Поскольку мы предположили конечномерность D, можно рассмотреть D как левый D-модуль с соответствующим скручиванием во- Положим 0 = 0/)(1)-1. Тогда из функториальности скручивания мы будем иметь для любого конечномерного D-модуля
Ov(V) = Od(I)V = 0~lv.
D-линейность морфизма Od означает, что элемент в центральный. Из соотношения (3.1) мы получаем
А(0~') = (0'1 QO^(R21R),
в то время как соотношение (3.2) дает 5(0-1) = О"1. Наконец, равенство є (в) = 1 следует из утверждения (б) леммы 3.3. ?
Следствие 14.6.3. Центральный элемент O2 ленточной алгебры действует на любом конечномерном модуле как uS(u).
Отсюда мы видим, что O2 = uS(u), если алгебра D конечномерна.
Доказательство. Из предложения 6.2 мы знаем, что O2 действует на V как Oy2. Но по лемме 3.4 в любой ленточной категории имеет место равенство
Oy2 = (idy Q dvcv,v*)(cyy Q idy.)(idy <g> by). 14.6. Ленточные алгебры
451
Следовательно, достаточно вычислить действие правой части этого равенства на V. Пусть {vi}i — некоторый базис в V, a {vl}i — двойственный к нему базис. Тогда, используя (8.3.1), (8.3.2), (6.1) и (6.4), мы получаем для любого v є V:
(idy <g) dvcv,v)(cyy <g) idy*)(idy <g> bv){v) =
