Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
14.1. Представление морфизмов в тензорной категории
Здесь мы обсудим технику изображения морфизмов в строгой тензорной категории с помощью плоских диаграмм. Пусть С — строгая тензорная категория. Мы будем представлять морфизм / : U —> V в С с помощью прямоугольника с двумя направленными вниз стрелками, как показано на рис. 1.1. При этом U vi V мы будем рассматривать как «цвета» соответствующих стрелок, а / — как «цвет» прямоугольника.
\W 1
*—-і а
9 ° f =
Рис. 14.1.1. Морфизм f: U —ї V
Рис. 14.1.2. Композиция морфизмов 14.1. Представление морфизмов в тензорной категории
425
Картинка для композиции морфизмов / : U —? V is. g\ V —>W получается, если поместить изображение морфизма д над /, как показано на рис. 1.2. Здесь и далее символ = на наших рисунках означает, что соответствующие морфизмы в С совпадают. Тождественный морфизм объекта V будет обозначаться вертикальной стрелкой Jy, направленной вниз.
Тензорное произведение морфизмов / и д изображается прямоугольниками, помещенными рядом, как на рис. 1.3. Если представлять морфизм / : Ui <8 ... <8 Um —» V\ <8 ... <8 Vn как на рис. 1.4, то будем иметь равенство морфизмов, изображенное на рис. 1.5. Графическое воплощение равенства (11.2.3)
/ <8 д = (/ О id) <8 (id о д) = (id о /) <8 (д о id)
показано на рис. 1.6. Это приводит к формулировке следующего «прин ципа частичной изотопии»: для любой картинки, представляющей некоторый морфизм в С, сдвиг вверх или вниз ее части, находящейся слева или справа от некоторой вертикальной черты, не приводит к изменению соответствующего морфизма в С. Мы часто будем использовать этот принцип впоследствии без дальнейших объяснений.
/
П
Рис. 14.1.3. Тензорное произведение морфизмов
Рис. 14.1.4. Морфизм
/: Ui <8... <8 Um -* V1 ® Vn
Рис. 14.1.5
А
Рис. 14.1.6. Тождество (11.2.3) 426
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Предположим теперь, что тензорная категория сплетена с помощью с. Для произвольной пары (V, W) объектов из С мы представляем CytW и cVW' как показано на рис. 1.7. Утверждения на рис. 1.8 следуют из определений. Естественность морфизма CvtW выражена на рис. 1.9. Она влечет также естественность обратного морфизма, показанную на рис. 1.10. Графическая интерпретация аксиомы шестиугольника (13.1.5), (13.1.6) оставляется читателю. На рис. 1.11 дано графическое доказательство теоремы 13.1.3.
X
V W
cv,w
Zn
W
/
V
-jV1W
Рис. 14.1.7. Морфизм Cv,w и обратный к нему
/
VWVW WVWV
Рис. 14.1.8. Обратимость морфизма cv,w
W1
V
V
W
W1
V'
W
V1 W'
W V
V1 W'
Рис. 14.1.9. Естественность морфизма cvtw
Рис. 14.1.10. Естественность морфизма Cy1w
V
V&U
CU1V
I
V®U
CuiV
UVW U®V W U®V W UVW
Рис. 14.1.11. Доказательство теоремы 13.1.3 14.2. Двойственность
427
14.2. Двойственность
Теперь мы кратко обсудим понятие двойственности, введенное в параграфе 2.3.
Определение 14.2.1. Пусть (С,®,/) — строгая тензорная категория с тензорным произведением <8 и единицей I. Мы говорим, что эта категория обладает левой двойственностью, если для каждого объекта VbC указан объект V* и морфизмы
by : I V <8 V* и dv : F* <8 V ->¦ I в категории С такие, что
(idy (8 dy)(by <8 idy) = idy и (dy <8 idy*)(idy <8 by) = idy». (2.1)
Далее мы дадим графическое представление соотношений (2.1), используя соглашения из параграфа 1. Тождественный морфизм на V* будем представлять вертикальной стрелкой "jV, направленной вверх. Вообще, договоримся считать, что если стрелка ориентирована снизу вверх, то соответствующий морфизм затрагивает не объекты, соответствующие цвету стрелки, а двойственные к ним. Например, морфизм / : U* —»¦ V* можно представить четырьмя способами, как показано на рис. 2.1.
Морфизмы bv '¦ I V <8 V* и dy V* <8 V —I изображаются, как на рис. 2.2. Соотношения (2.1) представлены графически на рис. 2.3.
U
Рис. 14.2.1. Морфизм f: U* V*
bv
rv
dy
V
V
V
ги
V
Рис. 14.2.2. Морфизмы by и dy
Рис. 14.2.3. Соотношения (2.1) 428
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях
Приведенных данных достаточно для того, чтобы продолжить двойственность до функтора и вывести формулы присоединения, подобные тем, которые были доказаны в главе 2.
Определим сначала морфизм /*: V* —» U*, транспонированный к морфизму / : U —> V, в категории С по формуле
/* = {dv Oidt7.)(idу* О / Oidt7.)(idy Obt/). (2.2)
В наших графических обозначениях мы изображаем морфизм /*, транспонированный к / : U —»¦ V, как показано на рис. 2.4.
В следующем предложении выписаны несколько свойств левой двойственности.
Предложение 14.2.2. Пусть С — строгая тензорная категория с левой двойственностью.
(а) Если f : V —» W и g : U —ї V — морфизмы в С, то мы имеем (/ 0 Я)* — 9* 0 /* и (idy)* = idy. для любого объекта V.
(б) Для любой тройки U,V,W объектов категории С имеют место естественные биекции
Нот(С/ Нот{U, W О V*)
и
Нот(17* ®V,W) = Hom(F, U О W).
