Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
что в точности совпадает с действием, задаваемым коумножением в квантовом дубле D(A). 13.5. Категорная интерпретация квантового дубля
421
3. По определению сплетения в Z(A-Mod), лемму 5.3 можно интерпретировать как утверждение, что имеет место равенство
F(cv,w)(v Qw) = ту,w {R(v Q w)),
что совпадает со сплетением в категории 1)(А)-модулей. Таким образом, тензорный функтор F сплетенный.
4. Предположим, что V есть левый D(.4)-модуль. Для любого ,4-модуля X определим Cxy по формуле
сху (х Qv) = Txy (R(x Q v)),
где v Є V, x Є X. Покажем, что (V, с. у) является объектом категории Z(A-Mod).
Отображение сху является естественным изоморфизмом, так как элемент R обратим. Докажем, что оно Л-линейно. Для а Є А мы имеем
сху (а(х Q v)) = tXy(RA(a)(x <8 и)) = = Txy(Aop(a)R(x <8 v)) = = А(а)тху (R(x <8 v)) = = acxy(x <8 v)
в силу соотношения (8.2.1).
Мы должны также проверить соотношение (4.1), а именно, что для любых x, у, v имеет место формула
Cxg Y,v(x QyQv) = (сху Q idy) ((idx <8 суу)(х QyQv)).
Левая часть этой формулы равна
тх®уу ((А <8 id a)(R) (х Qy Qv)),
в то время как правая часть равняется tx®y,v(R\zR2z(x QyQv)). Эти выражения равны в силу (8.2.3). Следовательно, G(V) = (V,c.y) есть объект категории Z(A-Mod).
Пусть / : V —> W — морфизм 1)(Л)-модулей. Мы должны проверить, что G(f) = f есть морфизм в Z(A-Mod). Во-первых, заметим, что он Л-линеен, а значит, и 1)(А)-линеен. Во-вторых, мы имеем
((/ <8 idх)сху)(х Qv) = TX,w ((idx ® f)(R(x Q и))) =
= tx,w{R(xQ f(v))) = = (сх,V(idx Q f))(x Qv) для всех x Є X и V Є V. Это доказывает (4.2). 422
Глава 13. Сплетения
5. Очевидно, что FG = id. Равенство GF = id следует из леммы 5.3. Таким образом устанавливается эквивалентность между Z(A-Mod) и D(A)-Mod.
Итак, теорема 5.1 доказана. Заметим, что то же самое рассуждение проходит, если ограничиться рассмотрением конечномерных модулей.
Замечание 5.4. Естественное вложение А С D(A) алгебр Хопфа индуцирует тензорный функтор D(A)-Mod —»¦ A-Mod. Нетрудно проверить, что последний соответствует функтору П : Z(A-Mod) —> A-Mod из (4.5), если использовать эквивалентность из теоремы 5.1.
13.6. Упражнения
1. Пусть H — сплетенная биалгебра относительно универсальной Д-матрицы R. Покажите, что категория H-Mod является симметрической тогда и только тогда, когда th,h(R) = Л-1-
2. Пусть П — строгая тензорная категория. Покажите, что если мы для всех объектов U, V, X, Y заменим шестиугольные диаграммы (Hl) и (Н2) на квадрат
U®V®X®Y Cc/,V®1CW) V®U®X®Y
idc/®ygcx,y
id V®U®CX,Y
U®V®Y®X Cc/'v0kW > V®U®Y®X,
то получим определение сплетения, эквивалентное определению 1.1.
3. Используя обозначения из параграфа 11.6 (упражнение 8), определим условие коммутативности с по формуле c(v ® w) = = 7(n,p)(w ® v), где V и W — произвольные однородные элементы степеней пар соответственно, а 7 — некоторая функция, принимающая значения в к\{0}. Покажите, что с является сплетением тогда и только тогда, когда 7 удовлетворяет функциональным уравнениям
7 (т,п + р) = a(n,p,m)~1j(m,p)a(n,m,p)j(m,n)a(m,n,p)~1 13.7. Замечания
423
и
7(m + n,p) = а(р, m,n)j(m,p)a(m,p, п)~1у(п,р)а(т,п,р) для всех неотрицательных целых т,п,р.
4. Для данной тензорной категории С рассмотрим обратную категорию Crev, которая отличается от категории С лишь тензорным произведением: V <8>rev W = W <g> V. Докажите, что если категория С сплетенная относительно с, то (id, щ = id, <р2 = с) есть тензорный функтор из С в Crev.
5. Пусть С — сплетенная тензорная категория. Покажите, что строгую тензорную категорию Cstr1 определенную в параграфе 11.5, можно снабдить сплетением таким, что тензорные эквивалентности между двумя категориями, построенные в параграфе 11.5, будут сплетенными функторами.
6. (Задание категории кос.) Покажите, что строгая тензорная категория В порождается морфизмами о\, а^1 из B2 и соотношениями CTicrj"1 = CTj-1CTl = ІСІ2 и
(сті О idi)(idi <8 сті)(сті <8 idi) = (idi <8> сті)(сті <g> idi)(idi <g> сті). 13.7. Замечания
Сплетенные тензорные категории были введены Джоялом и Стритом в работах [JS91a], [JS93]. Они обобщили понятие симметрической тензорной категории, появившееся в 1960-х в работах Бенабу [Вёп64] и Маклейна [МасбЗ] и широко изучавшиеся в связи с вопросами алгебраической геометрии и алгебраической топологии (см., например, [Del90], [DM82], [KL80], [МасбЗ], [SR72]).
Изложение параграфа 3 взято из [JS93]. Лемма 3.5 является аналогом теоремы 12.4.2 для кос. Примеры скрещенных G-множеств мы нашли в [FY89]. Упражнение 4 взято из [JS93].
Конструкция центра из параграфа 4 принадлежит Дринфельду (не-опубликовано), а также Джоялу и Стриту [JS91c] и Маджиду [Maj91b]. Глава 14
Двойственность в тензорных категориях
В предыдущей главе мы определили сплетенные тензорные категории, модельным примером для которых служит категория кос. Теперь мы введем класс тензорных категорий, модельным примером для которых является категория оснащенных плетений или ленточек. Это — так называемые ленточные категории. Их определение использует понятие двойственности. Но как только понятие двойственности начинает использоваться, формулы быстро становятся громоздкими и нечитаемыми. Для преодоления этого препятствия мы вводим графическое исчисление, в котором окрашенные диаграммы плетений представляют морфизмы тензорных категорий.
