Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(/ ® f)° = (/ ® Я</>2 1 Р{а,і)ч>2 =
= (/ ® f)cv,v =
= Cyl у, (f ®/) =
= (P12-1Fl(Chl)MQf) =
= Afef)- 13.3. Универсальность категории кос
411
Второе и четвертое равенства следуют из (3.12), а третье — из естественности сплетения св С.
Теперь вполне точность функтора & следует из изоморфизмов
Hom?r(?iC)(F,F') = HomTens(?iC)(F,F') S
= Homy?(C)(e(F), e(F')) = = Homc(e'(F), Q'(F')),
где первое равенство имеет место по определению, второе следует из вполне точности в (теорема 3.3), а последнее было только что доказано.
Существенная сюръективность функтора в'. Пусть V — некоторый объект категории С. Так как категория С сплетенная, автоморфизм суу по теореме 1.3 является оператором Янга-Бакстера. Согласно теореме 3.3 функтор О существенно сюръективен, откуда существует тензорный функтор (F,(po,(p2): В -» С вместе с изоморфизмом а: V —ї F(I) такой, что
^J1 F{citi)(p2(a <g> а) = (а <8> а)суу. (3.13)
Чтобы доказать, что функтор & существенно сюръективен, достаточно убедиться, что функтор F сплетенный, то есть что для любой пары (п,т) неотрицательных целых чисел квадрат (C71im):
F(n) <8> F(m) F(n + m)
cF(n),F(m)
F(Cnirn) (3.14)
F(m) <g> F(n) F(n + m)
коммутативен. Мы проверим это, используя индукцию по п и т.
Доказательство коммутативности квадратов (Со,о), (CiiO) и (Сод) оставляется читателю. Для начала проверим, что коммутативна диаграмма (Сід). Мы имеем
F(ci,i)(p2 = Ч>2(а ® c^cyyia"1 ® аГ1) = (р2 CF(I),F(I) из соотношения (3.13) и естественности сплетения с. 412
Глава 13. Сплетения
Теперь докажем, что коммутативность диаграмм (CriiI) и (Criirn) влечет коммутативность (Сп<т+1). Мы имеем
F(cntm+i)ip2 = F(id <g> cnii)F(c„im <g> ld)(p2 =
= ip2 (id ® F (Cnti)) Ifi21 <P2 [F(C7lt17l) <g> id)<^2 V2 = = <?2(id ® (p2)(id <8> cF(n)iF(1))(id <g> (P21W21 о
° ?>2(?>2 ® id)(cF(n)iF(m) <g> id)(^1 <g> id)<^2 V2 = = <p2(id <g> <p2)(id <g> cF(n)iF(1)) a (cF(„))F(m) <g> id) о
о ((^1 <g> id)<^J V2 = = (p2[id ® (p2) acF(n)tF(m)<S)FW a W21 <g> id)</^ V2 = = <p2(id ® <p2) a (^21 <8> id)cF(n) F(m+1) (id <g> (p2) а о о (^J1 <g> id)</^ V2 =
= v2cf(n)if(m+i).
Первое равенство является следствием того факта, что (сПіТО)ПіТО есть сплетение в В, второе вытекает из естественности </?2, третье — из коммутативности диаграмм (C71 д) и (Cnjn), четвертое — из соотношения (11.4.1), пятое — из равенства (1.3), шестое — из естественности сплетения в С и седьмое — снова из соотношения (11.4.1).
Аналогичное вычисление показывает, что коммутативность диаграмм (Ciim) и (C7lt7n) влечет коммутативность диаграммы (Cn+iiTO). Это достаточно для доказательства того, что все квадраты (C7lt7n) коммутативны. Следовательно, функтор F является сплетенным, что и требовалось доказать. ?
Мы можем интерпретировать утверждение теоремы 3.7 так, что для любого объекта V сплетенной тензорной категории С со сплетением с тензорная степень F®" объекта V (неважно, как расставлены скобки) имеет естественную структуру модуля над группой кос Bn. Если, кроме того, эндоморфизм суу является инволюцией, то есть в квадрате равно единице, то действие Bn факторизуется до действия симметрической группы Sn.
Из доказательства существенной сюръективности функтора О' видно, что для любой строгой сплетенной тензорной категории верно следующее более сильное утверждение. 13.4. Конструкция центра
413
Следствие 13.3.8. Пусть V — некоторый объект строгой сплетенной тензорной категории С. Тогда существует, и притом единственный, строгий сплетенный тензорный функтор Fy из категории кос В в С такой, что Fy{l) = V.
13.4. Конструкция центра
Теперь мы приведем конструкцию, которая сопоставляет каждой строгой тензорной категории (С,®,7) сплетенную тензорную категорию Z(C), называемую центром категории С. Когда С есть тензорная категория A-Mod модулей над конечномерной алгеброй Хопфа А с обратимым антиподом, центр Z(A-Mod) тензорно эквивалентен сплетенной тензорной категории D(A)-Mod модулей над квантовым дублем D(A) алгебры А, который был описан в главе 9. Другими словами, «конструкция центра» есть категорная версия конструкции квантового дубля.
Определение 13.4.1. Объектами в Z(C) являются пары (V,c.y), где F — объект категории С, а с.у — некоторое семейство естественных изоморфизмов
Cxy : X ® V F ® X,
определенных для всех объектов X категории С, такое, что для любых объектов X, Y из С мы имеем
cx®vy = (сху ® idy Xidx <g> cYy). (4.1)
Морфизм из объекта (V, с. у) в (W,c. tw) — это некоторый морфизм / : V -» W в С такой, что для всех объектов X категории С мы имеем
(/ ® idх)сху = cx,w(idx ® /). (4.2)
Естественность изоморфизмов с.у означает, что квадрат
XOF -^?. FOX
J/®idv Jidv ®/ (4.3)
y®F -^?. V®Y
коммутативен для любого морфизма f : X Y в категории С. 414
Глава 13. Сплетения
Очевидно, что idy является морфизмом в Z(C) и что если д и / — составимые морфизмы в Z(C), то композиция fog в С является морфизмом в Z(C)- Следовательно, в категории Z(C) тождественный морфизм объекта (V5C^y) есть idy.
