Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
13.5. Категорная интерпретация квантового дубля
Здесь мы обсудим связь между конструкцией центра из параграфа 4 и квантовым дублем, построенным в главе 9. Это даст нам простое категорное описание квантового дубля.
Пусть А = (А, /и, г], А, є, S) — конечномерная алгебра Хопфа с обратимым антиподом S. В этих предположениях мы строили в параграфе 9.4 сплетенную алгебру Хопфа D(A). Напомним, что D(A) = А* ®А как векторное пространство, что алгебры Хопфа А и (Лор)* являются подалгебрами Хопфа в D(A) и что универсальная Д-матрица есть R = ® а%-> гДе {аг}г — базис в Л, a {al}i — дуальный базис. Наконец, согласно теореме 9.5.2 структура модуля над D(A) — это то же самое, что структура скрещенного бимодуля над А.
Теперь мы готовы к формулировке основного утверждения этого параграфа.
Теорема 13.5.1. Для любой конечномерной алгебры Хопфа А с обратимым антиподом сплетенные тензорные категории Z(A-Mod) и D(A)-Mod эквивалентны.
Мы дали конструкцию центра только для строгих тензорных категорий. Однако не представляет труда обобщить ее для категории A-Mod. Перед тем как доказывать теорему 5.1, сформулируем подготовительные утверждения.
Лемма 13.5.2. Пусть (V, с. у) — объект из Z(A-Mod), Av — отображение из V в V ® А, заданное для всех v Є V равенством 418
Глава 13. Сплетения
Av(v) = са,v( l<8>u). Тогда отображение Ay задает на левом А-модуле V структуру скрещенного А-бимодуля.
Доказательство. Пусть Ay ¦ V —> V ® А — отображение, определенное выше. По нашему соглашению мы пишем
Ay(v) = ^Vy ®vAeV ® А (5.1)
(V)
для любого V Є V. Мы называем Ay ко действием А на V.
Естественность изоморфизмов с. у позволяет выразить Cxy через кодействие Ду для любого А-модуля X. Действительно, для данного X Є X и X: А —> X — единственного Л-линейного отображения, отправляющего 1 bi, мы имеем следующий коммутативный квадрат:
A®V V®A
idy gi
x®v v®x.
Это означает, что для любых v Є V и х Є X мы имеем
схуіх ® V) = Ду(и)(1 <8 :r) = vV ® vAx. (5.2)
(V)
Покажем, что кодействие Ay коассоциативно. Из (4.1) имеем cx®Y,v(x ®y®v) = y^vv ® ivA)'x ® ivA)"y =
(V)
= (Cxy ® idy)((idx <8> CY,v)ix ®y®v)) =
= ® (VV)AX ® vAV-
(v)
Полагая X = Y = А п х = у = \, получаем
Y^vy ® ivA)' ® ivA)" = ^(иу)у ® ivv)A ® vA,
(V) (V)
откуда следует коассоциативность для Ду. 13.5. Категорная интерпретация квантового дубля
419
Мы также имеем с^у = idy, поскольку k = I есть единица тензорной категории k-модулей. Отсюда 0^(1 <8 v) = e{va)vv = v для всех V Є V. Это означает, что кодействие Ду обладает коединицей. Таким образом, мы доказали, что кодействие Ду задает на V структуру правого Л-комодуля.
Теперь запишем тот факт, что отображение с\у ^4-линейно. Для а Є А, V Є V vi X Є X мы имеем
о сху(х ® v) = сху(а(х <8 v)).
Выражая сху через Ду, получаем
Д(а)Ду (г>)(1 <8 х) = (JT, Av(a"v)( 1 <8 а')) (1 ® х).
(а)
Полагая X = А и х = 1, мы приходим к равенству
Y a'vv <8 а"VА = Y (a"v)v ® (a"v)Aa!, (5.3)
(a)(v) W(V)
совпадающему с соотношением (5.2) из главы 9 и означающему, что V есть скрещенный Л-бимодуль. ?
Из теоремы 9.5.2 мы знаем, что скрещенный Л-бимодуль является D(Л)-модулем. Пусть R = ® 0,1 — универсальная Д-матрица дубля D(A). Выразим сплетение в сплетенной тензорной категории Z(A-Mod) через R.
Лемма 13.5.3. В сделанных выше предположениях, если (V,c.y) — объект категории Z(A-Mod), а X — некоторый А-модуль, то изоморфизм сху задается для всех х Є X и v Є V формулой
сху (х Qv)= тху (R(x <8 г>)). Доказательство. Из соотношений (5.2) и (9.5.4) мы имеем СХУ (х <2>v) = ^ Vy <8 V^X =
(V)
= 5^("1) VA)VV <8 uiX =
(v),i
= а1 • V Q u{X =
(v),i
= rXy(R(x Qv)). ? 420
Глава 13. Сплетения
Доказательство теоремы 5.1 мы проведем в пять шагов.
1. Сначала мы построим функтор F из Z(A-Mod) в D(A)-Mod. Пусть (V,c.y) — некоторый объект категории Z(A-Mod). Согласно лемме 5.2 и теореме 9.5.4 векторное пространство F(V,c.y) = V является левым .0(А)-модулем. Напомним, что, как мы видели в параграфе 9.5, действие дубля D(A) на V задается формулой
(aa)v = (5.4)
(v)
где а Є А, а Є А* и v Є V.
Если / — морфизм в Z(A-Mod), то из соотношения (4.2) следует, что / есть морфизм Л-комодулей, а значит, А*-модулей. Значит, отображение / является D(A)-линейным. Тем самым, F определено как точный функтор.
2. Покажем, что F является строгим тензорным функтором. Тензорное произведение объектов (V,c.y) и (W,c.iW) есть (V®W,C. ygw)i где С . ygW определяется ПО формуле CAygW — (idy ®CA,w)(cAy® idw)-Следовательно, кодействие на V <8 W задается формулой
Avgw(v <8 w) = ^ vv ® ww ® Wava-
(v)(w)
Согласно (5.4) действие линейной функции а на тензоре v®w тлз V ®W записывается следующим образом:
а • (г> <8 ги) = У] (a,WAVA)yy ®ww,
(v)(w)
что по определению коумножения Д в А* (см. параграф 9.4) равно (A(a),VA <8 wa)vv <8 ww = Д(«) • (v <8 w).
(v)(w)
Следовательно, І)(А)-действие на V <8 W записывается для а Є А и а Є А* формулой
(aa)(v <8 ги) = Д(а)(Д(а) • (v <8 ги)) = A(aa)(v <8 w),
