Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы сформулируем основное утверждение настоящего параграфа.
Теорема 13.4.2. Пусть (С, <8>, I) — строгая тензорная категория. Тогда Z(C) является строгой сплетенной тензорной категорией, в которой
(і) единичным объектом является (I, id),
(и) тензорное произведение объектов (V,c.y) и (W, c.yv) есть
(V,c.y)®(W,c.tw) = (V ® W, с. y®w),
где cx,v®w X ®V ® W V ®W ® X есть морфизм в С, заданный на всех объектах X категории С формулой
cx,v®w = (idy <8> cx,w)(cxy ® idw), (4.4)
(iii) и сплетением является
су,W ¦ (V,c.y) ® (W,c.tW) (W,c.,w) ® (V,c.y).
Доказательство. 1. Пусть (V,с.у) и (W,c.tw) — объекты из Z(C). Мы утверждаем, что пара (V <8> W,c. y®w), определенная в пункте (ii) теоремы 4.2, является объектом категории Z(C).
Действительно, ИЗ СВОЙСТВ {у, С. у) И (W,c.tw) следует, ЧТО Cx,V®W есть изоморфизм в С и что схуIgiW естественен по X. Мы должны проверить соотношение (4.1) для C.ygw- Для любых объектов X, Y категории С мы имеем
cx®y,v®w = (idy <8> cx®y,w)(cx®y,v ® idw) =
= (idy <8 cx,w ® idy) (idy<8> cy,w) °
о (сху <8> idygw)(idx <8 суу <8> idw) = = (idy ® cx,w ® idy)(cx,v ® idw®y) °
о (idx®v ® cy,w)(idx ® суу ® idw) = = (cx,v®w ® idy) (id* ® cyy®w)- 13.4. Конструкция центра
415
Первое и четвертое равенства следуют из (4.4), второе — из (4.1), а третье — из (11.2.3), то есть из естественности тензорного умножения.
2. Пусть /: (V,c.y) (W,c.,w) и /': (V',c.y) (W',c.iW,) -морфизмы в Z(C). Мы утверждаем, что морфизмом будет и / <8 /'. Проверим для / <8 /' соотношение (4.2). Мы имеем
(/ <8 /' <8 idx)cx,V0V = (f ® idw, ® idx) (idy <8 /' <8 id*) о
о (idy <8 cx,v)(cx,v ® idy) =
- (f ® idW' ® idx) (idy <8 cx.iv') 0
о (idy <8 idx <8 f')(cx,v <8 idy) = = (idw ® Cx1W)(/ ® idx <8 idw') 0
о (сху ® idw')(idx <8 idy <8 /') = = (idw ® cx,w)(cx,w ® idw) 0
о (idx <8 / <8 idw')(idx <8 idy <8 /') = = Cx1WgW'(idx <8 / <8 /')¦
Первое и пятое равенства следуют из (4.4) и из (11.2.3), второе и четвертое — из (4.2) и третье — из (11.2.1).
Теперь очевидно, что тензорное произведение корректно определено и на объектах, и на морфизмах категории Z(C). Оно функториально и удовлетворяет всем необходимым аксиомам, поскольку оно обладало этими свойствами в исходной категории С. Таким образом, Z(C) является строгой тензорной категорией. Далее мы покажем, что она сплетенная.
3. Начнем с доказательства того, что cytw есть морфизм в Z(C). Мы должны проверить соотношения (4.2) для CyiW) а именно, что имеют место соотношения
(cyw <8 idx)cx,y»w = cx,W0v(idx ® cy,w), для всех объектов X из С. Имеем
(cyw <8 idx)cx,vgw = (су,W <8 idx)(idy <8 cx,w)(cxy ® idw) = = cygx,w(cx,v <8 idw) = = (idw ® cx,v)cx®v,w = = (idw <8 cx,v)(cx,w ® idy) (idx ® cv,w) = — cx,w®v(idx <8 cyw)- 416
Глава 13. Сплетения
Первое и последнее равенства следуют из (4.4), второе и четвертое — из (4.1), а третье — из естественности с. у.
4. Морфизм Cyyy обратим по определению и естественен по отношению ко всем морфизмам в С, а, значит, принадлежит Z(C). Чтобы CyiW можно было взять в качестве сплетения, оно должно удовлетворять соотношениям (1.5) и (1.6). Выполнение соотношения (1.6) следует из предположений (4.1), а (1.5) — из (4.4). Следовательно, категория Z(C) сплетенная относительно сплетения Cyw- ?
Сформулируем свойство универсальности конструкции Z. Для произвольной строгой тензорной категории С функтор П : Z(C) —»¦ С:
П (V,c.y) = V (4.5)
является строгим тензорным функтором. Он универсален в следующем смысле.
Предложение 13.4.3. Пусть F — некоторый строгий тензорный функтор из строгой сплетенной тензорной категории С в строгую тензорную категорию С'. Предположим, что F биективен на объектах и сюръективен на морфизмах. Тогда существует, и притом единственный, строгий сплетенный тензорный функтор Z(F): С —> Z(C) такой, что F = П о Z(F).
Доказательство. Сначала докажем существование Z(F). Для любого объекта V категории С положим
Z(F)(V) = (F(V), с. iF{v]),
где С . ,f(v) определяется для всех объектов X из С' по формуле сх,f(v) = F(cf~1(x),v)- Здесь с. у является сплетением в С. Соотношение (4.1) выполняется, поскольку F есть строгий тензорный функтор. Следовательно, Z(F)(V) является объектом категории Z(C').
Для морфизма / : V —»¦ V' в С положим Z(F)(f) = F(f). Соотношение (4.2) выполняется ввиду естественности сплетения в С. Это доказывает, что Z(F) есть функтор. Очевидно, П о Z(F) = F. Проверим теперь, что Z(F) является сплетенным тензорным функтором. Он сохраняет тензорное произведение в силу (1.5) и (4.4). Он также уважает сплетения. Действительно, мы имеем
Z(F)(cVtw) = F(cytw) = cF(v),f(iv)» что дает сплетение в Z(Ct). 13.5. Категорная интерпретация квантового дубля
417
Единственность функтора Z(F) является следствием того факта, что он сохраняет сплетения. ?
Применяя предложение 4.3 к тождественному функтору сплетенной тензорной категории, мы получаем следующее утверждение.
Следствие 13.4.4. Для любой строгой сплетенной тензорной категории С существует, и притом единственный, сплетенный тензорный функтор Z из С в Z(C) такой, что По Z = idc-
