Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
cxtv(x,y) = (у,х|у|),
(1.11) 400
Глава 13. Сплетения
где x Є X и у Є Y. Доказательство следующего утверждения оставляется читателю.
Предложение 13.1.5. Указанные выше отображения cx,y являются морфизмами скрещенных G-множеств и задают сплетение в строгой тензорной категории X(G).
Пусть X = G действует на себе сопряжениями, то есть (х,д) >->• д~1хд. Тогда X = G вместе с отображением | | = idG является скрещенным G-множеством. Следовательно, G®" = Gn также есть скрещенное G-множество с I(<7i,... ,дп)| = д\... дп (для п > 0). Полная подкатегория категории X(G) с объектами {1, G, G®2, G®3,... } образует сплетенную подкатегорию Xg(G) в X(G) со сплетением, заданным формулой
CG",G™(ob--- ) 9п+т) = (on+l> • ¦ ¦ ,Э^ЭпЭ), (1-12)
где д = 0П+1 • • • 9п+т-
13.1.5. Симметрические тензорные категории
Сплетенные тензорные категории обобщают классическое понятие симметрических тензорных категорий, введенное ранее специалистами по теории категорий. Тензорная категория называется симметрической, если она снабжена сплетением с таким, что
cw,v ° су,W = (113)
для всех объектов V, W из этой категории. Если соотношение (1.13) выполнено, то сплетение с называется симметрией данной категории. Заметим, что коммутативность шестиугольника (Hl) и шестиугольника (Н2) в симметрической категории равносильны.
Мы приведем два примера симметрических тензорных категорий.
Предложение 13.1.6. Строгие тензорные категории GL и S, построенные в пункте 11.3.2, являются симметрическими.
Доказательство. Зададим автоморфизмы sntTn е GLn+m(k): п®т -» -» т®п следующим образом. Для канонического базиса {ei,... , en+m} векторного пространства k"+m мы положим зп<т(еі) = ет+і, если 13.2. Категория кос
401
1 ^ г ^ п, и зп>т(еі) — Єі—п, если ті + і^ї^ті + тп. Матрица отображения sritm в каноническом базисе пространства kn+m имеет вид
( 0 Im \ V In 0 J >
где 1„ и Im — единичные матрицы размеров п х п и m х m соответственно. Это имеет место, когда п > 0 и m > 0. В противном случае so,n = idk" = «„,о-
Мы утверждаем, что семейство (s„)m) является сплетением для категории GL. Мы должны проверить функториальность и выполнение соотношений (1.5), (1.6). Функториальность равносильна соотношению
sn,m o(g®h) = (h®g)o sn,m,
имеющему место для всех д Є GLn(к) и h Є GLm(к). Это следует из матричных соотношений
(0 Im\(g0\ = (0h\ = fh0\f0 Im \
V In о J Vo h ) \д о J \0 д )\1п 0 )'
Соотношение (1.5) вытекает из равенства
/0 1т0\ /Im 0 0 \ / 0 Im 0 \ 0 0 Ip = 0 О Ip In о 0 .
V 1„ о 0 / \ 0 In 0 / \ 0 0 Ip /
Заметим, что зт,пзп>т = idn^m. Следовательно, выполнено также соотношение (1.6), откуда (sn)m) является сплетением, задающим на GL структуру симметрической тензорной категории.
Так как матрица отображения Sritrn есть матрица перестановки, те же формулы определяют симметрию и на категории S. ?
13.2. Категория кос
В параграфе 10.6 мы определили косы как специальный случай плетений. Взятие композиции или тензорного произведения двух кос, как мы делали это для плетений в параграфе 12.2, приводит к новой косе. Поэтому косы образуют строгую тензорную категорию В, в которой 402
Глава 13. Сплетения
объектами являются конечные последовательности знаков +. Такую последовательность длины п мы отождествляем с числом п, используя соглашение, что пустой последовательности соответствует число 0. Таким образом, мы возьмем множество Z+ за множество объектов строгой тензорной категории В. Цель настоящего параграфа — показать, что категория кос является строгой сплетенной тензорной категорией.
Чтобы задать сплетение на категории кос, мы должны определить изоморфизм сп.т: п ® т —> т ® п для каждой пары (п, т) неотрицательных целых чисел. Это делается следующим образом: положим Со,п = id„ = сПіо, а для п,т> 0
Cn,т = ^mffITi-I • • ¦ ОіХОт+іОт •• "l) ¦ ¦ ¦ (&т+п-1&т+п-2 ¦ ¦ ¦ &п), (2.1)
где CTi,... ,стт+п_1 суть образующие группы Вт+п, определенные в параграфе 10.6. Коса сп,т показана на рис. 2.1. Заметим, что перестановка, соответствующая косе Critm, совпадает с перестановкой S7ltin из предложения 1.6.
Теорема 13.2.1. Семейство изоморфизмов (cntm)n,m^о является сплетением в категории кос В.
Доказательство. Мы должны показать, что семейство (Cntm)ritm^o функториально по отношению ко всем морфизмам из В и удовлетворяет соотношениям (1.5) и (1.6).
Начнем с функториальности. Так как каждый морфизм в В является элементом некоторой группы кос, достаточно проверить функтори-альность по отношению к образующим CTj. Точнее говоря, мы должны доказать, что для всех i,j таких, что имеет место равенство
Сп,т ° (<?i ® CTj) = (<7j ® <7i) ° Cn,т-
Левая и правая части этого равенства представлены диаграммами кос на рис. 2.2. Нетрудно видеть, что от одной диаграммы можно перейти к другой последовательным применением движений Райдемайстера типа (III), что и доказывает равенство. Читателю предлагается заменить это топологическое доказательство на чисто алгебраическое, использующее лемму 10.6.4.
