Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть с Є Aut(Vi (? Vi) — /(!-матрица такая, как в примере 2 параграфа 8.2. Найдите все автоморфизмы р пространства V\ такие, что (с, р) является оснащенной Я-матрицей.
3. Вычислите след автоморфизма (рт ® рт)ст, где (ст,рт) есть оснащенная Я-матрица из леммы 5.1. Найдите значение функтора Fmtq из предложения 5.2 на трилистнике и на зацеплении Хопфа. (Указание: используйте следствие 4.4 и формулу (5.1).)
12.7. Замечания
Результаты этой главы принадлежат в основном Тураеву [Тиг89], изложению которого мы близко следовали, и Йеттеру [Yet88]. Оснащенные /(!-матрицы появлялись уже в [Тиг88], хотя и в несколько другой форме.
В пункте 14.5.1 мы построим строгую тензорную категорию TZ из оснащенных плетений, или ленточек (определение которых дано в параграфе 10.8). Представление TZ образующими и соотношениями содержится в [FY89] и [Тиг89]. Глава 13
Сплетения
Здесь мы определим важное понятие сплетенной тензорной категории, принадлежащее Джоялу и Стриту [JS93]. Это понятие было введено для формализации характеристических свойств тензорных категорий модулей над сплетенными биалгебрами, а также идеи перекрестка на диаграмме зацепления или плетения. Определив понятие сплетенной тензорной категории, мы покажем, что косы образуют сплетенную тензорную категорию, которая является универсальной в некотором точном смысле. Мы также приведем «конструкцию центра», которая является категорной версией квантового дубля Дринфельда.
13.1. Сплетенные тензорные категории 13.1.1. Определения и основные свойства
Пусть С — некоторая категория с тензорным произведением <8): CxC —> —»С и условием ассоциативности а. Обозначим через т: С х С —> С х С переставляющий функтор, определенный на любой паре объектов категории равенством r(V, W) = (ТУ, У). Условием коммутативности с называется некоторый естественный изоморфизм
с: <8> —> <8>т.
Это означает, что для любой пары объектов (У, W) нашей категории имеет место изоморфизм
CvtW • V ® W -»¦ W (8) V
(1.1) 394
Глава 13. Сплетения
такой, что квадрат
V ®W
f®9
cv,w
V'® W
/ом// cv.w> „// о т//
W®V
9®f
(1.2)
> W'®V
коммутативен для произвольных морфизмов /, д.
Говорят, что условие коммутативности с удовлетворяет аксиоме шестиугольника, если следующие две шестиугольные диаграммы
(Hl)
U®(V®W) cu'v<sw > (V®W)®U
и (Н2)
^UtVtW
(U® V) ® W
C[7,v®idw
aV,W,и
V ®{W ®U)
idy®cu,w
(V®U)®W av'v'w ) V®(U®W)
(1.3)
(.U®V)®W cu<sv'w ) W®(U®V)
1U1V1W
U ®{V ®W)
id u®cv,w
U®(W®V) -
1UtWtV
1WtUtV
Cw ®u)® V
C[7,W®idv
¦> (U®W)®V
(1.4)
коммутативны для любых объектов U, V, W из категории.
Заметим, что шестиугольник (Н2) можно получить из (Hl) заменой изоморфизма с на обратный к нему с-1. Следующее определение принадлежит Джоялу и Стриту. Оно играет центральную роль в теории квантовых групп. 13.1. Сплетенные тензорные категории
395
Определение 13.1.1. Пусть (С,®,I,а, 1,г) —тензорная категория.
(а) Сплетением в С называется условие коммутативности, удовлетворяющее аксиоме шестиугольника, то есть (1.3), (1.4).
(б) Сплетенная тензорная категория — это тензорная категория (С, Q, 1,а,1, г, с), снабженная сплетением.
Заметим, что если с есть сплетение в С, то сплетением будет и обратный функтор с-1. Если тензорная категория С является строгой, то коммутативность диаграмм (Hl) и (Н2) равносильна выполнению следующих соотношений:
и
си,v^w = (idv Q си,w){.си,V ® idw) cu®v,w = (си,w Q idy)(idf/ <g> cv,w)¦
(1.5)
(1.6)
Изучим связь между сплетениями и условиями правой и левой единиц.
Предложение 13.1.2. Для любого объекта V сплетенной тензорной категории с единичным объектом I имеют место соотношения
Iv о Cv,і = ry, Tv о C1,V = Iv и C1,V
,-і -VJ-
Если тензорная категория является строгой, то эти соотношения превращаются просто в
ei,V = су,і = idy. Доказательство. Рассмотрим диаграмму (VQI)QW VQ(IQW) —> (IQW)QV
id v®lw
VQW W®w
-»¦ IQ(VQW) id/®°) J®(W®F).
(1.7)
IQ(VQV)
(IQV)QW
Коммутативность внешнего семиугольника следует из коммутативности диаграммы (1.3), верхнего квадрата — из естественности сплетения, нижнего квадрата — из естественности левой единицы I, верхнего 396
Глава 13. Сплетения
левого треугольника — из аксиомы треугольника (11.2.9) и нижнего левого и правого треугольников — из леммы 11.2.2. Следовательно, средний левый треугольник также коммутативен, откуда
ry ® idw = (W ® idw) ° (су,/ <8> idw) = (W 0 cv,i) ® idw-
Положим W = I. Используя естественность условия г, мы получаем ry = Zyocyi/, то есть первое из требуемых равенств. Заменяя функтор с на обратный к нему, мы видим, что коммутативность диаграммы (1.4) аналогичным образом влечет второе равенство. Последнее соотношение является непосредственным следствием первых двух. ?
13.1.2. Связь с уравнением Янга-Бакстера
В следующей теореме сформулировано одно из важнейших свойств сплетенных тензорных категорий, которое можно рассматривать как категорную версию уравнения Янга-Бакстера.
