Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
385
Следствие 12.4.4. В данных выше обозначениях мы имеем
F(o)=pcn(v) и F(o) = tv(p,®n о Р1(о)) (4.4)
для произвольной косы о Є Bn.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (а) Достаточно доказать это утверждение для образующих <7i,... ,оп-1 группы Bn. В обозначениях параграфа 10.6 мы имеем равенство
Oi = lj-i <8 Х+ <8 In-I-I
в категории плетений. Применяя к нему тензорный функтор F, мы получаем из предложения 10.6.2 и формулы (4.2а)
F(oi) = idv®(i_i) <8 с <8 idv®(„-i_i) = рп(о).
(б) Сначала мы запишем замыкание косы о в терминах категории плетений. Имеем
5 = tTn о (or f ••• t) ° Un,
где
fTn = tT о Ц tT t) ° (П tr tt) ° • • • о Ц®(п_1) tT t®(n_1))
и
Un = ц®^-1) и t®(n_1)) о... о (44, и tt) ° (4- U t) ° U. Следовательно,
F(o) = F(tr„) о (F(o) (8 idy.®n) о F(Un). Далее, нетрудно проверить, что равенства (4.2а), (4.2Ь) влекут
F(Un) = 5у®п и F(tTn) = evy.®n о (р®п <8 idy.®»). Следовательно,
F(o) = evy.®n о ((р.®п о F(о)) <8 idy.®n)<fy®n, что равно следу оператора о F(o) согласно предложению 2.3.5. ? 386
Глава 12. Категория плетений
Пусть Vn W — конечномерные векторные пространства, с базисами соответственно {vi,... , vTO} и {гої,... ,wn}, а также дуальными базисами соответственно {v1,... ,vm} и {го1,... ,wn}. Предположим также, что даны четыре линейных отображения b: к -» V ® W, Ь': к -» ТУ ® V, d\W ®V ^ykvL d' :V ®W ^yk. Рассмотрим матрицы B,B',D,D', определяемые из равенств
ь(і) = Y^ ва vi ® w^ 6^1) = Yl B'ijWi ® v^
i,j і J
d(wi ® vj) = Dij, d'(vi ® wj) = D1ij.
Лемма 12.4.5. В предыдущих предположениях и обозначениях мы имеем
(idy ®d)(b®idy) = idy <*==> BD = 1, (4.5а)
(d®idw)(idw®6) =idw DB = 1, (4.5b)
(d' ® idy)(idy ® b') = idy D1B' = 1, (4.5c)
(idw ® d')(b' ® idw) = idw B'D' = 1, (4.5d)
где 1 обозначает единичную матрицу соответствующего размера. Доказательство. Получается простым вычислением. ?
Определим теперь линейные отображения a: W* -» V и ?: V* -» W формулами
і і
В следующем утверждении мы предполагаем, что отображения а и ? являются изоморфизмами, что равносильно условию обратимости матриц В и В'. Мы также полагаем, что обратными матрицами к В и В' являются DhD' соответственно. Напомним, что т обозначает переставляющее отображение. 12.4. Представления категории плетений
387
Лемма 12.4.6. Пусть f — некоторый оператор на пространстве V Q V. В сделанных выше предположениях мы имеем
(d Q idtf/gvyKidw Q d Q idy<g)H/igvv)(idvv(8)VV Q / <8 idw®w) ° о (idw®w®v <8 Ь <8 idw) (idw® w Qb) =
= т(а* Q а*)/*((сГ1)* ® (а_1)*)т, (4.6а)
(idw®w <8 cO(idw<g>w®v <8 с?' (8 idw)(idw®w <8 / <8 idw®w) ° о (idw Qb1 Q idygwgiwXb' ® idw®w) =
= т(/3 <8 /3)/^/3-1 Q?~l)r, (4.6Ь) (idy Q d')(f Q idw)(idv «8 b) = tr2(/(idy Qfi)), (4.6c)
где /і = a(?~1)*,
(іd (8 idy,gw)(idw <8 / <8 idw)(idw®v Qb) =
= (idy ® а*)(тууІ)хту ,y((a-1)* <8 idy), (4.6d) (idw®v <8 d')(idw QfQ idw)(b' Q idygiw) =
= (? Q idy)ryiy. (/ryiy)x(idy Q ?~l). (4.6e)
Доказательство. Состоит в утомительных, но простых вычислениях. ?
Доказательство предложения 4.3. Пусть (с, ц) — некоторая оснащенная ії-матрица на конечномерном векторном пространстве V. Для применения лемм 4.5, 4.6, мы положим W = V*, a = idy и ? = (?*)~l. Зафиксируем базис {г>і,... , Um } в пространстве V вместе с дуальным к нему базисом {и3,... , Vm]. Определим матрицу В' следующим образом:
?(vi) = YtB1ijVi. і
Так как ? и ? являются изоморфизмами, матрица В' обратима. Пусть Df — обратная к ней. По определению отображений b, b', d, d! мы имеем
6(1) = Y^vi Q Vі, V(I) = YB1ijViQvj, і i,j d(vl Qvj) = Sij, d'(V1 Qvj) = Dfij.
Докажем теперь соотношения (4.3a)-(4.3g). 388
Глава 12. Категория плетений
Равенства (4.3а), (4.3b) следуют из леммы 4.5 ввиду того факта, что матрицы В и D единичные, а В' и D' — взаимно обратные.
Соотношение (4.3с): Равенство (4.1а) означает, что f(p. ® р) = = (/Lt <8> /Lt)/ для / = Ci. Транспонируя, мы получаем
(м*®/ОГ = л,
что равносильно соотношению
т/*Т = т(р* ® /Li*)_1/*(/"* ® /Li*)r.
Из последнего равенства следует (4.3с) ввиду соотношений (4.6а), (4.6Ь) и равенств a = idy и ? = (/и*)-1.
Соотношение (4.3d) выполняется по определению отображения с-, а равенство (4.3е) выражает тот факт, что с является решением уравнения Янга-Бакстера. Равенство (4.3f) следует из (4.Ib) ввиду (4.6с).
Соотношение (4.3g): ввиду равенств (4.6d), (4. бе) и так как выражения в квадратных скобках в следующей формуле являются изоморфизмами, доказать требуемое соотношение означает в точности показать, что
idy.gy = [(/3<8iidy)ryiy.(c:tryiy)x(idy 0/Г1)] о
о [(idy ®a*)(ry)yc:F)xTy.iy((a_1)* ®idy)].
Заменяя а и ? на их значения, мы сводим это к доказательству равенства
((/и*)-1 <8>idy)ryiy.(c±ryiy)x(idy <8>/u*)(ry)ycT)><ry.iy = idy.®y. (4.7) Соотношение (4.7) равносильно следующему:
(idy ® (/i*)-1)(c±ryiy)x(idy <8>/)(гу1уст)х = idy®y. (4.8)
Транспонируя эти отображения и применяя лемму 2.3.3, мы видим, что (4.8) равносильно (4.1с). ? 12.5. Существование многочлена Джонса-Конвея (окончание)
