Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 13.2.1. Коса с, 13.2. Категория кос
403
Рис. 13.2.2. Доказательство соотношения (1.2)
ш
Рис. 13.2.3. Доказательство соотношения (1.5)
m
P
п
т
Рис. 13.2.4. Доказательство соотношения (1.6)
Графическое доказательство соотношения (1.5) (соответственно соотношения (1.6)) дано нарис.2.3 (соответственно на рис.2.4). ?
Заметим, что в категории кос имеет место соотношение
= Idfi-1^clil Oidf^i-1).
(2.2) 404
Глава 13. Сплетения
13.3. Универсальность категории кос
В этом параграфе мы укажем два свойства универсальности категории кос. Они будут означать, что В является моделью для всех других сплетенных тензорных категорий.
13.3.1. Операторы Янга-Бакстера
Мы введем понятие оператора Янга-Бакстера, следуя Джоялу-Стриту [JS93],
Определение 13.3.1. Для произвольного объекта F тензорной категории (С, Q, I, а, I, г) автоморфизм а объекта F Q F называется оператором Янга-Бакстера на F, если двенадцатиугольник
(F®F)®F (^idv (VQV)QV ayy'v ) VQ(VQV)
aV,V,V
VQ(VQV)
idy ®<т
VQ(VQV)
1VtVtV
(V ®F) OF
<r® idy
(F®F)®F коммутативен.
F0(F0F)
id у ®сг
VQ(VQV)
av,V,v (VQV)QV
cr®idy
(VQV)QV
ay,у,у
VQ(VQV)
Коммутативность этой диаграммы равносильна выполнению соотношения
(id Q а)а(а Q id)a-1(id Q а)а = а(а Q id)a_1(id Q а)а(а <g> id), (3.1)
где а = аууу и id = idy. В произвольной сплетенной тензорной категории сплетение Cyy является оператором Янга-Бакстера для любого 13.3. Универсальность категории кос
405
объекта V. Это следует из теоремы 1.3. Ниже указан один из способов получать операторы Янга-Бакстера.
Лемма 13.3.2. Пусть (F, ifio,ifi2): С —> V — некоторый тензорный функтор. Если а Є Aut(V <8> V) есть оператор Янга-Бакстера на объекте V категории С, то
(J1 = Ip2(V1V)-1 о F(а) о MV, V) (3.2)
— оператор Янга-Бакстера на F(V).
Доказательство. Очевидно, что а' является автоморфизмом объекта F(V) ® F(V). Достаточно проверить соотношение (3.1). Другими словами, если мы положим
U = (id <g> а')а(а' ® id)a-1 (id <g> а')а
и
V = а(а' ® id)a-1(id <g> а')а(а' ® id),
то нужно будет доказать, что и = v. Но действительно, согласно определению 11.4.1 мы имеем
a = (id <g> Ifi2lW21 F(a)ip2(ifi2 ® id). (3.3)
Из соотношений (3.2), (3.3) следует, что
и = (id <g> ^J1Xid <g> F(Ct))^1 F(a)ip2(F(a) ® id) о
о Ifi'1 F(a~1)ifi2(id ® F(cr))^1 F(a)ifi2(ifi2 ® id),
где Ip2 = ip2(V, V), ip2(V, V ® V) или ip2(V ® V, V). Далее, Ip2 является естественным изоморфизмом. Следовательно, квадраты
F(V ®V)® F(V) Ыу®уу) ) F((V®V)®V)
F(a&dv)
И
F(V®V)®F(V) ) F((V®V)®V)
F(V)®F(V®V) *2ІУУ®У)) F(F®(F®7))
F(idv®<r)
F(V) ®F(V ®V) , F(V®(V®V)) 406
Глава 13. Сплетения
коммутативны. Мы перепишем их в виде
ip2(F(a) Q id) = F(crQ id)<р2 и (id ® F(ct))^1 = (^1 F(id ® ст). (3.4)
Подставляя (3.4) в выражение для и, получаем
и=(id ® ?21)^1 F([d ® cr)F{a)F(<j ® id) о о F(a-1)F(id ® a)F(a)(p2(<p2 ® id) =
= (id ® (P^1)1P21 ^((id ® cr)a(cr ® id)a_1(id ® сг)а)(р2(<р2 ® id).
Аналогично, мы имеем
у = (id ® (P^1)V2 1 F(a(o ® id)a-1(id ® а)а(а ® id)) <р2{<р2 ® id).
Равенство u = v следует теперь из того факта, что а удовлетворяет соотношению (3.1). ?
Теперь мы определим новую категорию YB(C), исходя из операторов Янга-Бакстера на объектах тензорной категории (С, ®, I, а, I, г). Объектами в YB(C) являются пары (V, а), в которых V — объект категории С, а a : V ® V -» V ® V — оператор Янга-Бакстера на V. Морфизмом /: (V, а) -» (Vі, а') в YB(C) является морфизм / : V ->¦ V в категории С такой, что квадрат
v qv v qv
/в/
/в/ (3.5)
V'QV' VQV'
коммутативен. Тождественным морфизмом объекта (V,a) в YB(C) является idy.
Изучим связь категории операторов Янга-Бакстера с категорией кос В. Предположим, что (F,(po,(p2): B-^C есть тензорный функтор из В в тензорную категорию С. Из теорем 1.3 и 2.1 мы знаем, что автоморфизм сід = о\ объекта 1 ® 1 = 2 является оператором Янга-Бакстера на объекте 1 категории В. Из леммы 3.2 следует, что автоморфизм
a = ipz1 F(chi)<p2 (3.6) 13.3. Универсальность категории кос
407
является оператором Янга-Бакстера на F(I) в категории С. Это задает нам объект (F(l),cr) категории YB(C), который мы обозначим через ©(F).
Мы утверждаем, что © продолжается до функтора Tens(B,C) —>
YB(C). Проверим, что если 77: (F, щ,ц>2) -> (F',<р'0,<р'2) является естественным тензорным преобразованием, то 77(1): F(I) —> F'( 1) есть морфизм в категории YB(C). Другими словами, нам нужно показать, что 77(1) удовлетворяет следующему соотношению:
(r](l)®r,(l))a = a'(r,(l)®r,(l)), (3.7)
где сг' = F'(citi)(p'2. Мы имеем
(т?(1) ® 7?(1))ст = (T7(I) ® T7(I))^1 F(Cltl)If2 = = (р'2~ 1г] (2) F(cltl) <р2 = = ^^(01,1)^(2)^2 = = V12-1 F1(Cltl)V12(T)(I) ® Tl(I)) = = о'Ш® T1(I)).
Первое и последнее равенства следуют из определения а и а', второе и четвертое — из определения естественного тензорного преобразования (определение 11.4.1), а третье — из определения 11.1.3.
