Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 13.1.3. Пусть U1V1W — объекты сплетенной тензорной категории. Тогда диаграмма
iy®u)®w Svymw (U®V)®W auy'w ) U®(V®W)
idylS>cv,w
U ®(W ®V)
aV,U,W
V®(U®W)
idvQcu^w
V ®(W®U)
av]w,u
(V®W)®U cv,w®idu
(W ®v)® и awyu ) W®(V®U) (itw^y W®(U®V)
au]w,v
(iU ®W)®V
cu,w® idv
(W®U)®V
aw,u,V
коммутативна. 13.1. Сплетенные тензорные категории
397
Если наша категория С строгая, то коммутативность этого двенадцатиугольника равносильна соотношению
(cyW ® idt?)(idy <g> eu,w){cuy ® idw) =
= (idw ® Cvу){си,W ® idy)(idf/ <g> cy,w)- (1-8.)
Это означает, что для произвольного объекта V сплетенной тензорной категории естественный изоморфизм суу является решением уравнения Янга-Бакстера.
Доказательство. Мы разобьем наш двенадцатиугольник на два шестиугольника типа (Н2) и один квадрат. Согласно (1.4) в нашем двенадцатиугольнике композиция морфизмов, идущих по часовой стрелке, начиная от (U ® V) ® W и кончая в W ® (U ® V), совпадает с cv®v,w-Аналогично, композиция морфизмов, идущих против часовой стрелки, начиная от (V ®U) ® W и кончая в W ® (V ®U), совпадает с cy®v,w-Остается убедиться в коммутативности квадрата
(|U®V)®W cv^w > W®(U®V)
C[7,v®idvv
idw®c[7v
(¦V®U)®W cv^w ) W®{V®U).
Ho он является частным случаем коммутативного квадрата (1.2) (выражающим функториальность сплетения), где / заменено на Cvу, а д — на idw- О
Приведем несколько примеров сплетений.
13.1.3. Сплетенные категории векторных пространств
Пример 1. (Переставляющее отображение.) Переставляющее отображение т, очевидно, есть сплетение в тензорной категории Vect(k). Оно также является сплетением в категории k[G]-Mod представлений произвольной группы G и, более общо, в категории A-Mod модулей над произвольной кокоммутативной биалгеброй А (см. предложение 3.5.1).
Следующее утверждение указывает связь между сплетенными тензорными категориями и сплетенными биалгебрами, которые были определены в параграфе 8.2, и объясняет название, данное последним. 398
Глава 13. Сплетения
Предложение 13.1.4. Пусть (Н,р,г],А,є) — некоторая биалгебра. Тензорная категория H-Mod является сплетенной тогда и только тогда, когда биалгебра H сплетенная.
Доказательство. Пусть {H,p,r},A,e,R) — сплетенная биалгебра с универсальной Д-матрицей R. В параграфе 8.3 мы определили изоморфизмы Cy w из V ® W в W ® V по формуле
cv,wiv ® w) — Tv,W[R(v <8> ги)),
где V Є V, w Є W. Предложение 8.3.1 означает, что семейство отображений с является сплетением.
Обратно, пусть (Н,р,г],А,є) — некоторая биалгебра. Предположим, что в тензорной категории H-Mod существует сплетение с. Рассмотрим следующий обратимый элемент R в H ® Н\
r=th,h{ch,h( 1®1)). (1.9)
Покажем, что R является универсальной Д-матрицей в Н.
Для произвольных элементов V, W двух /У-модулей V, W естественность сплетения влечет коммутативность квадрата
Н®Н Н®Н
v<g)w
w<g)v
V ®w w®v
где V : H-^Vhw :H—tW есть H- линейные отображения, заданные условиями ?(1) = V и й)(1) = w. Отсюда следует, что
cv,w{v ®w) = (w® v)(ch,h{ 1 ® 1)) =
= TytW ({v®w)(R)) = TVfW (R(v ® w)). (1.10)
Запишем условие //-линейности изоморфизма с#,я: для любого а є h мы имеем
а сЯ)я( 1 ® 1) = сн,н{а{ 1 ® 1)).
Из (1.10) мы получаем А{а)тн,н{Щ = тя,я(-КД(а)У Это равносильно выполнению равенства
Дор (a) R = RA{a)
для всех а Є Н. 13.1. Сплетенные тензорные категории
399
Коммутативность шестиугольников (1.3), (1.4) влечет соотношения
(id ® Д) (R) = RuRu и (Д ® id) (R) = Я13Я23
соответственно. Отсюда следует, что элемент R удовлетворяет соотношениям (8.2.1) и (8.2.3), (8.2.4), определяющим структуру сплетенной биалгебры на Н. ?
При соответствии, использованном в предшествующем доказательстве, коммутативность двенадцатиугольника из теоремы 1.3 равносильна уравнению
R12R13R23 = -^23-^13^12
из теоремы 8.2.4 (а).
13.1.4. Скрещенные G-множества
Для данной группы G мы можем построить строгую сплетенную тензорную категорию следующим образом. Назовем (правым) скрещенным G-множеством множество X, снабженное правым действием XxG-^X группы G и теоретико-множественным отображением I I: X —» G такими, что
\хд\ = д'1\х\д
для всех X Є X и д Є G. Морфизм / : X —> Y скрещенных G-mho-жеств — это отображение / из X в Y такое, что f(xg) — f(x)g и \f(x)\ = |ж| для всех X Є X и д ? G. Скрещенные G-множества и их морфизмы образуют категорию X(G).
Мы зададим в этой категории тензорное произведение следующим образом. Для данных скрещенных G-множеств X и Y определим X ®Y как декартово произведение XxY вместе с G-действием, заданным формулой (х, у)д = (хд, уд), и отображением X®Y -» G, заданным формулой I(ж,у)| = |ж||у|. Легко проверить, что X®Y принадлежит X(G). Аналогично для данных морфизмов / и д положим / <g> д = f х д. Тогда X(G) превратится в строгую тензорную категорию с единицей I, совпадающей со скрещенным G-множеством {1} с отображением |1| = 1.
Для любой пары (X, Y) скрещенных G-множеств определим отображение CxtV : X ® Y —>¦ Y ® X по формуле
