Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
389
12.5. Завершение доказательства существования многочлена Джонса-Конвея
Цель этого параграфа состоит в выводе предложения 10.4.7 из теоремы 4.2 настоящей главы. Пусть к — некоторое поле и q — его обратимый элемент. Зафиксируем целое т > 1. Пусть Vm — векторное пространство размерности т над к, снабженное базисом {vi,... ,vm}. Зададим линейный эндоморфизм Cm пространства Vm <8 Vm формулой
cm[Щ ® Vj) = <
Ato qVi <8 Vi, если г = j,
Xm Vj <8 Vi, если і < j,
. Am Vj <8 Vi + Am(q- q-1) Vi <8 Vj, если і > j,
где Am — ненулевая константа. Отображение Cm является частным случаем /(!-матрицы, описанной в примере 3 параграфа 8.1. Предложение 8.1.4 означает, что Cm является решением уравнения Янга-Бакстера, а также удовлетворяет дополнительному квадратичному соотношению
Ato1Cto - AtoCto1 = {q - q~l) idym(g)ym. (5.1)
Рассмотрим автоморфизм ^m пространства Vm, заданный на выбранном базисе формулой Iim(Vl) = V1. Заметим, что
1 ат — а~т
*(*») = Л 0т• (5-2)
^my q q
Лемма 12.5.1. Если Xm = q~m, то пара (Cm, fj.m) является оснащенной R-матрицей на Vm.
Доказательство. Нужно проверить выполнение соотношений (4.1а)-(4.1с). Первое выполнено автоматически, что видно из простой формы автоморфизма ц.
Соотношение (4. Ib): Простое вычисление дает:
ti^Mid ® IMn)) (Vi) = + (1- q-2) 5>-2(j-1)) Vi =
3<і 390
Глава 12. Категория плетений
Следовательно, ^(Cm(id <S> Pm)) = idym. Мы должны проверить, что аналогичное соотношение выполнено, если ст заменить на обратное отображение. Принимая во внимание (5.1), получаем
(c^1 (id <8> Mm)) =
= А~2 tr2(cm(id О /хт)) - A"1 (q - q_1) tr2(id <g> pm) =
= K? (i - Am(g - q'1) tr{pm))idVm =
= Л-2(1- q~m(qm -g-m))idym =
= A-2g-2midym = idym,
так как Xm = q~m и имеет место равенство (5.2).
Соотношение (4.1с) доказывается прямой выкладкой, которую мы оставляем читателю. ?
Как следствие теоремы 4.2 и леммы 5.1 мы получаем
Предложение 12.5.2. Пусть Xm = q~m. Тогда существует, и притом единственный, строгий тензорный функтор Frritq из категории плетений T в строгую тензорную категорию V, ассоциированную с Vectfiк), такой, что Fm>9((+)) = Vm, Fm,g((-)) =VJ1 и
771 771
Frjltq(U)(I) = Vі, Fmtq(XJ)(I) = q2i~l~m Vі ® Ui,
І-1 г=1
W Fmtq(X+) = Cm. Мы также имеем
qmFmtq(X+) - q-mFmtq(X_) = (q - (T1)Fml9(W), (5.3)
а значение Fnltq на тривиальном узле О равно
ат — а~т
Fm,q(0) = tr(pm) = 2-(5.4)
q-q 1
Доказательство. Применим теорему 4.2 к паре (Cm, рт) из леммы 5.1. Из соотношений (4.2а) следует, что Fmi9(U) и Fm;9( U) имеют желаемый вид. Соотношение (5.1) немедленно превращается в соотношение
qmFmtq(X+) -q-mFmtq(X.) = (q-q-l)Fmtg(U).
Что же касается тривиального узла, заметим, что он является замыканием тривиальной косы в Bi. Поэтому мы можем воспользоваться следствием 4.4, что дает Fm,q(0) = tr(pm). Доказательство завершается применением формулы (5.2). ? 12.5. Существование многочлена Джонса-Конвея (окончание)
391
Мы завершаем этот параграф доказательством предложения 10.4.7, что в свою очередь завершает доказательство теоремы 10.4.2 о существовании многочлена Джонса-Конвея.
Доказательство предложения 10.4.7. Применим предложение 5.2, взяв в качестве к поле комплексных чисел С, а в качестве q ф 0 — комплексное число, не являющееся корнем из единицы. Зафиксируем целое т > 1.
Обозначим через F ограничение тензорного функтора Frritq на ориентированные зацепления в К2х]0,1[. Так как ориентированные зацепления являются эндоморфизмами объекта 0 в категории плетений, F принимает значения в кольце эндоморфизмов End(C), которое канонически изоморфно полю С комплексных чисел. Используя этот изоморфизм, мы можем интерпретировать F(L) как комплексное число, сопоставленное зацеплению L в E2 х ]0,1[. Кроме того, по определению категории плетений число F(L) зависит лишь от изотопического класса зацепления L. Согласно предложению 5.2 значение F на тривиальном узле равно
gm - q~m
Предположим на время, что мы доказали равенство
qmF(L+) - q~m F(L-) = (q - Q-^F(L0) (5.5)
для всех троек Конвея (L+,L-,Lo)- Тогда композиция Фт,д функтора F и диффеоморфизма из K3 в К2х]0,1[ дает комплекснозначную функцию на множестве ориентированных зацеплений в пространстве R3, удовлетворяющую условиям предложения 10.4.7. Поэтому для завершения доказательства осталось лишь проверить соотношение (5.5). Но действительно, по определению тройки Конвея (L+, L-, Lo) существуют плетения Li, 1 ^ і ^ 4 такие, что
L+ = Lio (L2 <8> Х+ <8> L3) о Li, L_ = Li о (L2 <S> X- <g> L3) о L4
и Lo = Li о (L2 ® Il ® L3) о L4. Так как Frjltq является тензорным функтором, мы получаем
qm F(L+) - q~m F(L-) - (q - Q^F(L0) =
= Fm,g(Li)(Fmtq(L2) ®S® Frrltg(L3)) Fmtg(L4), 392
Глава 12. Категория плетений
где
S = Qm Fmiq(X+) - q~m Fm>q(X.) - (q - q~l) Fm,,(U)-
Последнее выражение равно нулю согласно (5.3). Это завершает доказательство соотношения (5.5). ?
12.6. Упражнения
1. Рассмотрим строгую тензорную категорию, объектами которой являются неотрицательные целые числа, а морфизмами — изотопические классы всевозможных диаграмм кос в К х [0,1]. Покажите, что эта категория порождается морфизмами X+ и X- и соотношениями Xjr о X- = X- о Х+ = id.
