Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(б) Согласно определению 1.3 мы должны проверить, что для каждой пары (а, а') слов в алфавите JF имеет место а а! а = а', где 7Z есть множество соотношений из предложения 3.2. Мы уже знаем из результатов главы 10, что эквивалентные слова (определение 1.1) представляют изотопные диаграммы плетений. Подобным образом, соотношения (2.1), (2.2) и (3.1)-(3.4) приводят к изотопиям диаграмм (см. рис. 2.2, 2.3 и 10.3.10).
Пусть теперь (а, а') — пара слов в алфавите T такая, что а = а'. Согласно утверждению (в) леммы 1.2 мы можем считать, что а и а' имеют вид
([idsj ® [/i] ® [idTl]) ° ([ids2] ® Ш ® [idT2]) о ... о ([idsJ ® [/*] ® [idTJ).
Геометрически это означает, что а = П и а' = П' есть диаграммы плетений общего положения и что а = ап, и а' = ап', где мы используем обозначения, введенные в части (а) доказательства. По предположению диаграммы П и П' изотопны. Значит, они могут быть получены одна из другой применением конечного числа операций, полученных из преобразований типов (А), (Б), (В) и (Д) из леммы 10.5.7. Следовательно, 12.3. Категория диаграмм плетений
379
чтобы показать, что слова ап и ап' сравнимы по модулю TZ, достаточно проверить, что указанные выше преобразования не изменяют класса эквивалентности. Сделаем это последовательно для всех случаев.
(A) Если П и П' изотопны в классе диаграмм общего положения, то
an = Orr •
(Б) Если диаграммы П и П' получаются друг из друга преобразованием типа (Б), то an ~ ап' ввиду соотношения (1.8).
(B) Если П и П' отличаются движением Райдемайстера типа (0), то ап ~7г ап' благодаря соотношениям (2.1), (2.2).
(Д) Этот случай покрывается соотношениями (3.1)-(3.4). ?
Следствие 12.3.3. Строгая тензорная категория V порождается шестью морфизмами U, и,П, П,Х+,Х_ и соотношениями (2.1), (2.2) и (2.3).
Доказательство. Категория V порождается указанными шестью морфизмами по лемме 3.1. Применим теперь лемму 1.5 к предложению 3.2: соотношения (3.1), (3.2) исчезают, а соотношения (3.3), (3.4) приводят к соотношению (2.3). ?
Доказательство теоремы 2.2 будет напоминать доказательство предложения 3.2. Так как любое плетение можно с точностью до изотопии представить диаграммой общего положения, следствие 3.3 означает, что категория T порождается множеством Tq из шести морфизмов, перечисленных в теореме 2.2.
Пусть а и а' — слова в алфавите Tq такие, что плетения а и а' изотопны. По теореме 10.5.9 отака1 можно перейти с помощью конечного числа операций, которые являются изотопиями диаграмм и движениями Райдемайстера типов (I), (II), (III). Согласно следствию 3.3 изотопии диаграмм не меняют класс эквивалентности слова по модулю (2.1)-(2.3). Поэтому для завершения доказательства теоремы 2.2 достаточно проверить, что движения Райдемайстера (I), (II) и (III) также не затрагивают класс эквивалентности.
Начнем с преобразования (И): достаточно проверить, что слова типа L± о L^ сравнимы со словом || при согласованной ориентации, где L имеет вид X, У, Z, Т. Если L = X, то наше утверждение следует из соотношения (2.4). В случае L = Z оно доказывается с помощью операций, показанных на рис. 3.2: первая и последняя являются изотопиями диаграмм, а вторая является движением Райдемайстера типа (II), 380
Глава 12. Категория плетений
Рис. 12.3.2. Эквивалентность в случае L = Z
/
VLi
к. X г/1 1
Рис. 12.3.3. Эквивалентность в случае L = Y или T
I
Рис. 12.3.4. Преобразование (!) в случае «снизу вверх» 12.4. Представления категории плетений
381
представленным соотношением (2.4). Если L = Y или Т, утверждение следует из соотношений (2.7)-(2.8), как видно из рис. 3.3.
Займемся теперь преобразованием типа (III). Когда все нити ориентированы сверху вниз, сравнимость следует из соотношений (2.5) и (2.4). Остальные случаи сводятся к предыдущему так же, как мы сделали это выше для движения (II). Подробности см. в [Тиг94, 1.4.5].
Наконец, рассмотрим преобразование (I). Если диаграммы, представляющие преобразование, ориентированы сверху вниз, то требуемый вывод следует из соотношения (2.6). Поэтому нам остается лишь рассмотреть те же диаграммы, но ориентированные снизу вверх, и проверить, что соответствующие слова сравнимы по модулю соотношений (2.1)-(2.8). Эта сравнимость видна из операций, выполненных на рис. 3.4: первая, третья, пятая и седьмая операции являются изо-топиями диаграмм, вторая — уже рассмотренным случаем движения Райдемайстера (I), четвертая — композицией движений Райдемайстера (II) и (III) и шестая — дважды примененным движением Райдемайстера типа (II). ?
12.4. Представления категории плетений
В параграфе 11.5 мы научились строить строгую тензорную категорию Cstr, исходя из произвольной тензорной категории С. Применяя эту конструкцию к категории Vectf (к) конечномерных векторных пространств над полем к, мы получаем строгую тензорную категорию V.
Определим представление категории плетений T как строгий тензорный функтор F из категории плетений T в строгую тензорную категорию V. Интерес к этому понятию связан в основном с тем, что каждое представление F категории T дает изотопический инвариант ориентированных зацеплений со значениями в поле к. Действительно, пусть L — ориентированное зацепление в R2X ]0,1[ (это пространство диффеоморфно M3). Как было замечено в параграфе 2, мы можем рассматривать L как эндоморфизм единичного объекта 0 категории плетений. Следовательно, образ F(L) зацепления L под действием строгого тензорного функтора F есть k-линейный эндоморфизм единичного объекта категории V, которым является основное поле к. Другими словами, F(L) есть умножение на константу. По определению категории 382
