Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 12. Категория плетений
плетений эта константа зависит только от изотопического класса зацепления L.
Этот метод нахождения изотопических инвариантов интересен постольку, поскольку существует способ систематическим образом находить представления категории плетений. Мы покажем это в настоящем параграфе, используя приведенное в теореме 2.2 представление категории T образующими и соотношениями.
Определение 12.4.1. Пусть V — некоторое конечномерное векторное пространство. Оснащенной R-матрицей на пространстве V называется пара (с, /Li), где с — некоторый автоморфизм пространства V ® V, удовлетворяющий уравнению Янга-Бакстера, а /Li — некоторый автоморфизм пространства V такой, что
с(ц ® /Li) = (/Li ® ц)с, (4.1а)
tr2(c±1(idv <S> A^)) = idv, (4.1b)
(гст1)+(ісіу. ® /Li)(CilT)+(idy. ® /Li-1) = idy.gy, (4.1c)
где T = ту,у.
Здесь мы использовали частично транспонированное отображение и частичный след, определенные в параграфе 2.3. Нам понадобятся также отображения вычисления evy, evy. и отображения ковычисления 5у, Sy из параграфа 2.3, где мы отождествили каждое конечномерное пространство с дважды двойственным к нему. Теперь мы готовы сформулировать основное утверждение этого параграфа.
Теорема 12.4.2. Для каждой оснащенной R-матрицы (с,/Li) на конечномерном пространстве V существует, и притом единственный, строгий тензорный функтор F из категории плетений T в категорию V такой, что27 F((+)) = V, F((—)) = V* и
F{X+) = с, F(U) = Sv, F{tT) = (idy. ® ?-l)Sv. (4.2а) Для этого функтора также имеют место равенства
F(X-) = с-1, F(n) = evy, F( ff) = evy. (/Li® idy.). (4.2b)
27 Здесь и далее для простоты обозначений объекты вида (V) категории V обозначаются просто через V. — Прим. перев. 12.4. Представления категории плетений
383
Верно и утверждение, обратное к теореме 4.2, откуда следует, что представления категории плетений находятся во взаимно однозначном соответствии с оснащенными /^-матрицами. Мы не будем формулировать это утверждение.
Доказательство. Пусть F — строгий тензорный функтор из категории T в V. Положим F((+)) = V, F((-)) = W и28
F(U) = b:k^V ®W, F(tj ) = b': k -> W ® V, (4.2c)
F(n) = d: W ®V->k, F(tT) = d':V ®W ->k, (4.2d)
F(X+) = c = c+, F(X_) = c~:V ®V ^V®V. (4.2e)
По теореме 2.2 указанные шесть линейных отображений удовлетворяют соотношением, полученным применением F к (2.1)-(2.8), а именно,
(idy <8 d)(b ® idy) = idy = (d' ® idy)(idy <8 У), (4.3а)
(idw ® d')(b' ® idw) = idw = (d® idw)(idw ® b), (4.3b) (d <8 idw®w)(idw ®d® idyg)W<g>w)(idw<g>w ® c± ® id w®w) °
о {\&w®w®v ®b® idw)(idw®w ®b) = = (idw®w ® d')(idw®w®v ®d'® idw)(idw®w ® Ci ® idw®w) °
о (idw ® b' ® idv®w®w){b' ® i&w®w)i (4.3c)
c+c_ = c~c+ = idygy, (4.3d)
(c <8 idy)(idy <8 c)(c ® idy) = (idy ®c)(c® idy)(idy <8 c), (4.3e)
(idy <8 d'Xc* <8 idw)(idy ® b) = idy, (4.3f)
gh = idygw и hg = idw®v, (4.3g)
где линейные отображения g:W®V—>V®Wsih\ V®W^W®V задаются формулами
g = (d® idy<g)w)(idw ® ® idw)(idw®v ® b) (4.3h)
и
h = (idw<8V <8 d')(\&w <8 Ci (8 idw)(b' <8 idy,gw)- (4.3i)
28 Здесь и далее обозначение с+ не следует путать с частично транспонированным отображением. — Прим. перев. 384
Глава 12. Категория плетений
Такой набор (F, W, ft, ft', d, d!, с, с"), где V,W — некоторые конечномерные линейные пространства, a ft, ft', d, d', с, с" — линейные отображения, удовлетворяющие соотношениям (4.3a)-(4.3i) называется представляющими данными для категории плетений 7".
Обратно, согласно предложению 1.4 и теореме 2.2 любые представляющие данные (V, W, ft, ft', d, d', с, с~) для категории T корректно задают тензорный функтор F: T -» V такой, что ^((+)) = V, F((—)) = W, и такой, что выполняются соотношения (4.2с)-(4.2е).
Из приведенного выше рассуждения видно, что утверждение теоремы 4.2 вытекает из следующего утверждения. ?
Предложение 12.4.3. Пусть (с, р,) — оснащенная R-матрица на некотором конечномерном пространстве V. Возьмем в качестве ft, ft',d,d',с~ отображения
b = oy, ft' = (idy« ® /jl~1)6v, d — evy, d! = evy* (p, ® idy)
и c~ =c_1. Тогда (V, V*, ft, ft', d, d', с, с-) суть представляющие данные для Г.
Имеет место и обратное утверждение, формулировку и доказательство которого мы оставляем читателю. Перед тем как доказывать предложение 4.3, мы сформулируем следствие из теоремы 4.2, а также две леммы, которые используются в доказательстве предложения 4.3 (их также нужно использовать при доказательстве обратного утверждения).
Пусть (с, /и) — оснащенная /(!-матрица на конечномерном векторном пространстве V, a F — единственный строгий тензорный функтор из TbV, удовлетворяющий соотношениям (4.2а), (4.2Ь). Пусть а — некоторая коса из п нитей. Так как а является плетением, мы можем применить F к а. Получим некоторый автоморфизм F(a) пространства V®n. Аналогично, можно применить F к зацеплению а, которое является замыканием косы а (см. параграф 10.8). Получим эндоморфизм F(a) основного поля к, то есть скаляр. В приведенном ниже следствии автоморфизм F(a) и скаляр F(a) выражены в терминах представления рсп группы кос Bn, ассоциированного с /ї-матрицей с, как в следствии 10.6.9. 12.4. Представления категории плетений
