Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Почему эти вещи между собой Стохастическая связаны? Чтобы это показать, я интерпретация рассмотрю не обычное броуновское движение, а броуновское движение, видоизмененное следующим образом. Как и раньше, частица начинает движение из точки нуль, Но далее, когда в момент времени t частица очутится в точке х, существует вероятность uV(x) dt, что
138
частица исчезнет. Один из моих друзей назвал это некогда «броуновским движєнрієм с дырами». Если частица в момент времени t находится в точке х, то существует вероятность и V(x) dt того, что она попадает в «дыру», и мы ее никогда уже не увидим.
Какой будет при этом интерпретация величины (76)? Я утверждаю, что это есть полная вероятность выживания частицы до момента времени t. Если частица выбрала траекторию х(х), то тогда вероятность ее выживания в течение промежутка времени dt равняется
l-uV(x)dt^e-uV(x)dt. (78)
Все, что происходит в непересекающихся промежутках времени, все это по-прежнему независимые события. Следовательно, вероятность выживания в течение всего времени t будет произведением таких выражений. Она будет произведением показательных выражений. Это даст сумму в показателе, иначе говоря, — интеграл. Итак, мы получим просто
t
ехр(— и\ V(x(x))dx) (79)
о
в качестве вероятности выживания вплоть до момента времени t при условии, что частица движется по траектории X (т). Это вероятность того, что частица в момент времени t где-то будет находиться. Среднее значение, или математическое ожидание, даст полную вероятность выживания вне зависимости от того, какую траекторию частица выбрала.
Интуитивно очевидно, что броу-Фундаментальнре новское движение, по крайней решение мере броуновское движение без
дыр, а также диффузия, обычная классическая диффузия, с математической точки зрения эквивалентны. Вспомним, что функция (68) была также фундаментальным решением уравнения диффузии. Как теперь сделать эту эквивалентность очевидной с точки зрения физической? Допустим, что в начальный момент времени мы выпускаем из
139
начальной точки х = X0 некоторое число частиц. Каждая из них выберет свою траекторию и будет участвовать в броуновском движении. Затем в момент времени t посмотрим на интервал (х, х + dx). Число находящихся там частиц приближенно равно
где п — число частиц, выпущенных нами из точки X = х0. Вы видите, следовательно, что диффузия является макроскопической реализацией броуновского движения. Если мы смотрим на диффундирующее вещество в шкале частиц, то каждая частица находится в броуновском движении. Число частиц, находящихся в момент времени t в интервале (х, X + dx), очень хорошо аппроксимируется вероятностью, умноженной на п. Действительно, ошибка имеет порядок У п. Если, следовательно, движение начинает бесконечное в принципе число частиц, то ошибка почти совсем отсутствует. Диффузия, следовательно, это то, что мы видим, когда наблюдаем броуновское движение не одной частицы, а некоторого их числа.
Как теперь выглядит проблема броуновского движения с дырами? Что является макроскопическим аналогом? Очевидно, диффузия с некоторым распределением отрицательных источников. Плотность этих источников, если можно так выразиться, дается функцией V (х). Броуновское движение с дырами — с возможностью исчезновения — макроскопически эквивалентно диффузии с отрицательными источниками. А это как раз то, что описывает дифференциальное уравнение (77).
Очевидно, мы должны наложить некоторые условия на решение дифференциального уравнения. Все начинается в точке # = 0 в момент времени t = О, Это означает, что
Это — единственное условие, которое мы имеем. Q (х, t) является, следовательно, концентрацией
(80)
Q (х, t)—*b(x), когда t—»0.
(81)
140
в момент времени t в точке х. Поскольку наша начальная концентрация становится единицей, Q (х, t) dx является вероятностью выживания и пребывания в точке X1 находящейся внутри dx. Следовательно, если мы хотим знать вероятность того, что в момент времени t мы будем где-либо находиться, что мы не исчезнем, то мы должны выполнить интегрирование по х. Это даст нам вероятность выживания. А поэтому мы можем написать
t со
?{ехр(— и $ V(x (X)) dx)} = \ Q(X11) dx. (82)
О — оо
Я бы не хотел внушить вам мысль, что это доказательство. Это всего-навсего интуитивное рассуждение. Однако я должен отчетливо подчеркнуть, что мое описание броуновского движения с помощью рассмотренной нами меры действительно приводит к этому результату. Однако, как я уже сказал, доказательства можно найти в литературе.
Все это можно немного обобщить. Мы хотим иметь несколько более тонкую формулу, чем (82). Прежде всего, мы не обязаны начинать диффузию в точке х = 0. Мы хотели бы иметь возможность начинать ее в произвольной точке. Чтобы это сделать, прибавим просто х0 к X (х) (мы всегда будем предполагать, что X (0) = 0). Мы заменяем только концентрацию Q (X1 t)y имеющую особенность в точке X = 0, через Q (х0 I X1 t), имеющую особенность в точке х0. Ведь мы хотим иметь теперь условие
