Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Несколько вероятностных задач физики и математики
Автор: Кац М.Издательство: М.: Наука, под редакцией Випра И.Г.
Год издания: 1967
Страницы: 176
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
Скачать:
М. КАЦ
есколько вероятностных задач
физики и математики
М. Кац
НЕСКОЛЬКО ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ
ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Перевод с польского
Ю. В. ЛИННИКА и Д. Н. ЛЕНСКОГО
МОСКВА 1967
517,8
K 30
УДК 519.210
М. Кац
Несколько вероятностных задач физики и математики
M., 1967 г., 176 стр. с илл.
Редактор И. Г. Вирпо Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректор Е. А. Белицкая
Сдано в набор 24/VI 1966 г. Подписано к печати 9/XI 1966 г. Бумага 84х1087з2. Физ. печ. л. 5,5. Условн. печ. л. 9,24. Уч.-изд. л. 7,99. Тираж 15 ООО экз. Цена 58 коп. Заказ № 509.
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. Москва В-71. Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 1 «Печатный
Двор» имени А. М. Горького Главполиграф- 2-2-3 прома Комитета по печати при Совете Минист-
ров СССР, Гатчинская, 26. 84-66
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие переводчиков.................... 5
Из предисловия к польскому изданию............. 6
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Классические парадоксы..................... 8
Я-теорема (9). Парадокс обратимости (10). Теорема Лиу-вилля (12). Теорема Пуанкаре о возвратах (13).
Простая модель с такими же трудностями........... 18
Я-теорема (21). Парадокс обратимости (21). Парадокс возврата (21). Вероятностный анализ (23). Объяснение парадоксов (31).
Другая модель, но более легкая................. 33
Уравнение Лиувилля (39). М-уравнение (41). Два основных метода подхода (43).
Уравнение Больцмана для газов................. 56
Статистический подход (62). М-уравнение (67).
Более простая модель газа.................... 69
М-уравнение (70). Суженные распределения (72). Уравнение Больцмана (74). Хаос, хаотичные распределения
(75). Я-теорема (78). Распределение Максвелла (82). Класс хаотичных распределений (85). Линейное уравнение Больцмана (93). Линеаризованное уравнение Больцмана (95). Метод Гильберта (99). Связь с подходом, опирающимся на М-урав-нение (101).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДРУГИЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Стохастическая модель, связанная с телеграфным уравнением.
Дискретное случайное блуждание................ 103
Предельный случай (108). Метод Монте-Карло (109).
3
Непрерывная модель
ПО
Процесс Пуассона (110). Решение телеграфного уравнения (ИЗ). Соответствующие уравнения при большем числе измерений (114).
Асимптотическое поведение собственных значений оператора
Связь с уравнением диффузии (122). Принцип неощущаемости границы для коротких промежутков времени (123). Использование теоремы тауберова типа (125).
Уравнение Чепмена—Колмогорова (128). Решения уравнения Чепмена—Колмогорова (130). Мера Винера (132). Один функционал, его распределение и связанное с ним дифференциальное уравнение (136). Стохастическая интерпретация (138). Фундаментальное решение (139). Собственные значения уравнения Шредингера (144). Метод Монте-Карло (150).
Теория потенциала........................ 152
Среднее время, которое броуновская частица проводит в области Q (154). Различие между трехмерным пространством и плоскостью (156). Распределение времени пребывания в Q (160). Связанное с задачей интегральное уравнение (162). Вероятностное выражение для объемного потенциала (166). Емкость (171). Случай двух измерений (173). Другие меры, опирающиеся на уравнение Чепмена—Колмогорова (174).
Лапласа
120
Броуновское движение
128
4
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
В 1956 г. известный американский математик М. Кац прочитал в г. Далласе (США) цикл лекций для инженерно-научных работников. По мере чтения лекций их записывали на магнитофонную ленту, а затем отпечатали на множительном аппарате. Так возникла эта книга. Она посвящена приложениям теории вероятностей к различным вопросам математического анализа и классической статистической физики. Диапазон лекций достаточно широк: здесь и дифференциальные уравнения в частных производных, и теория потенциала, и броуновское движение, и теория газов и многое другое. Отличительная черта книги Каца состоит в том, что читатель не найдет в ней систематического изложения рассматриваемых вопросов, педантически завершенных математических доказательств. Зато автор уделяет много внимания идейной стороне дела независимо от того, идет ли речь о математических построениях или о выяснении их физического смысла. Он стремится развить у читателя интуицию и подчеркивает, что сила интуитивных рассуждений подчас бывает удивительной. Если добавить еще, что книга написана в стиле непринужденной беседы, и что этот разговорный, «интимный» стиль полностью сохранен и при переводе, то станет ясным, что мы имеем дело с не совсем обычным явлением в математической литературе.
Книгу Каца можно порекомендовать всем, кто, обладая достаточной подготовкой в области математики и физики, захочет прочитать поучительный обзор целого ряда математических и физических задач, решаемых методами теории вероятностей.
