Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Заканчивая этот своеобразный рассказ, я покажу вам, в чем состоят трудности с начальными собственными значениями. Если мы вернемся к формуле (82) и подставим в нее вместо Q (X1 t) разложение (93) по собственным функциям, то получим
t
?{ехр(— \V(x (T)) dx)) = о
оэ
= ? exp (- V) % (0) \ % (X) dx. (105)
j —OO
Посмотрим теперь на ряд экспоненциальных выражений в правой части. Когда t стремится к бесконечности, перевешивает первый член ряда. Поэтому мы сразу получаем
t
log E {exp (- \ V (X (т)) dx)} X1=,— lim-1- (106)
Эта формула имеет некоторые интересные свойства. Первое из них состоит в следующем: чтобы найти первое собственное значение, надо перейти по t к бесконечности. Это означает, что мы должны долгое время наблюдать траектории в броуновском движении. Они тогда имеют достаточно времени, чтобы
149
полностью развиться, и совершают все те страшные вещи, которые они могут совершать. Однако выражение (106) подсказывает, по крайней мере теоретически, численный метод нахождения первого собственного значения. А именно, Метод метод случайного выбора, который
Монте-Карло в настоящее время известен под
названием метода Монте-Карло. В принципе надо бы было только провести наблюдения над большим числом броуновских траекторий, t
вычислить ехр { —¦ ^ V(x(x)) dx} для каждой траек-
0
тории, взять среднее значение этих выражений для всех траекторий, результат прологарифмировать и поделить на t. Это было бы приближением. Мы, очевидно, не можем наблюдать непрерывной броуновской траектории, но, однако, очень хорошо знаем, что броуновское движение можно аппроксимировать случайным блужданием. Итак, мы заменяем броуновское движение дискретным движением, представляя его в виде случайного блуждания. И это было действительно сделано в 1949 г. для двух случаев: для потенциала V(x) = х2 и для потенциала V (х) = = I X I . Оба случая типично классические. Сначала результаты были весьма заманчивыми. Если мне не изменяет память, мы наблюдали 100 движений, каждое из которых состояло из 50 или 60 шагов. Во всяком случае, это не было слишком большое исследование, и результаты были удивительно хорошими. В действительности эту точность мы получили случайно, в результате действия какой-то удивительной причины. Результаты давали самое большее трех-или четырехпроцентные отклонения от наилучшей точности, какую только можно было ожидать при такой затрате труда. После этого два года подряд, летом, мы пробовали сделать то же самое для большего числа измерений и для некоторых особых потенциалов. Для атома водорода, для которого ответ опять-таки был известен, нам снова повезло. Но это был только счастливый случай. Мы наблюдали
150
300 движений, и значения, которые мы получили для большинства из них, были очень малы. Три значения были большими. Три среди трехсот! И эти большие значения дали надлежащий ответ. Это, очевидно, случайность. Следовательно, уже в этом случае метод оказался не очень хорошим. Для гелия он совсем плох.
Сравним формулу (106) с более полезной формулой
OO
$ W2+ V(x)^\dx
K1 = inf -. (107)
^ ^(x)dx
-OO
Эта формула получается из вариационного принципа в квантовой механике. Она является основой метода Рэлея — Ритца. Чтобы получить приближенное значение 1K1, мы просто берем пробную функцию (х) и подставляем ее в формулу. Применение этого вариационного метода к гелию было первым большим триумфом квантовой механики.
Заметим еще, в связи с этим, что с помощью весьма элементарной пробной функции мы можем получить уже хорошее приближение. При этом вообще не требуется никакой работы, а получающийся результат отклоняется от точного результата самое большее на 5%. В то же время, применяя метод Монте-Карло, мы не могли даже получить результата, отклоняющегося хотя бы меньше чем на 1000 %. А ведь это делалось с помощью вычислительных машин! Все предприятие, следовательно, полностью рухнуло. Причина тому — не слишком счастливая природа потенциалов. Интересно, что качественно, тем не менее, мы получаем некоторую приближенную картину. Если мы присмотримся к случайному блужданию двух электронов около ядра гелия, то заметим, что большую часть времени они находятся далеко друг от друга, и лишь в течение небольшой части времени находятся близко друг к другу. Некоторые общие признаки квантовомеха-
151
ничеекой картины здесь можно усмотреть, и это подтверждает метод Монте-Карло. Прошу обратить внимание на то, что здесь мы имеем дело с трехмерным движением! Мы могли бы взять только несколько движений, но даже это было бы грандиозным предприятием. Из статистической теории ошибок известно, что мы должны сделать гораздо больше испытаний. Техника случайных блужданий годилась еще для того, чтобы получить общие черты описанной выше проблемы, но была недостаточной, чтобы получить столь тонкую информацию, как, например, наименьшее собственное значение.
Мы немного удалились от темы первой половины лекций, так как нас не интересовали стохастические явления в физике сами по себе. Мы пользовались ими как орудием, при помощи которого можно рассматривать некоторые вещи, не являющиеся в принципе стохастическими. Наше уравнение (91) является вполне хорошим уравнением, для исследования которого вообще не требуется теория вероятностей. То же можно сказать и о телеграфном уравнении (16). Дело, однако, в том, что указанный стохастический подход не только вводит нас в новый раздел математики, что уже само по себе могло бы быть достаточной наградой, но также приводит нас к определенной точке зрения на некоторые вещи. Эта точка зрения позволяет легче получать все старые результаты, а также находить новые. Сейчас я покажу вам, как все это можно применить к теории потенциала.
