Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Различие между Если бы мы проводили для пло-трехмерным скости точно такое же рассужде-
пространством ние, как и в трехмерном случае, и плоскостью то тогда в (116) подынтегральным
выражением была бы функция
I *--Р I2
В знаменателе фигурирует т, а следовательно, интеграл (по бесконечному интервалу) от этой функции бесконечен. Отсюда, однако, не следует, что почти каждая траектория проводит бесконечно много времени в области Q. Если интеграл от какой-либо функции бесконечен, то это не значит, что и сама функция бесконечна. Можно, однако, показать с по-
156
мощью несколько более тонкого рассуждения, что для двух измерений действительно почти каждая кривая проводит бесконечно много времени в любой области.
Это различие между плоскостью и трехмерным пространством очень интересно. Как вы увидите немного позднее, это начало выяснения теоретико-вероятностными средствами большого различия в теории потенциала между двух- и трехмерным пространством. Каждый знает, что это различие велико. В одном случае основная функция Грина есть а в другом — log г. В этом причина указанной большой разницы. Мы открыли, что с нашей точки зрения существенное различие состоит в том, что при трех измерениях почти каждая кривая в броуновском движении проводит конечное время в данной области. В то же время при двух измерениях не хватает места. Бедная кривая путешествует и путешествует, все время возвращаясь к одной и той же области. Можно подправить доказательство и доказать следующее: почти каждая кривая в двумерном пространстве является всюду плотной. Это значит, что она подходит сколь угодно близко к каждой точке. В трехмерном пространстве почти каждая кривая нигде не плотна. Итак, мы имеем заслуживающую внимания теорему о том, что в то время, как каждая трехмерная кривая нигде не плотна, ее проекции на плоскость всюду плотны. Очевидно, это не следует понимать буквально. Это теорема не о кривых, а о мерах. В действительности нелегко представить себе хотя бы одну такую кривую, занимающую исключительно мало места в трехмерном пространстве, являющуюся, выразимся хотя бы так, исключительно разреженным объектом, но проекции которой на плоскость подходят сколь угодно близко к каждой точке этой плоскости. Наше рассуждение, однако, показывает, что такие кривые существуют.
Этот факт, эту удивительную разницу между двумя и тремя измерениями заметил значительно раньше Пойа в гораздо более простой ситуации. Это было в 1923 г. Пойа рассматривал следующую
157
задачу. Возьмем на плоскости квадратную решетку и рассмотрим случайное блуждание — обычное дискретное случайное блуждание. Из каждой точки мы приходим к одной из ее четырех соседок с вероятностью 3V4. Затем, где бы мы ни находились, мы снова приходим к одной из соседок с вероятностью V4, и так далее. Какова вероятность, что, начиная движение, скажем, из начала координат, мы пройдем, в конце концов, через наперед заданную точку решетки? Ответ на этот вопрос гласит: эта вероятность равна единице. Это значит, что с вероятностью, равной единице, кривая когда-нибудь пройдет через произвольную наперед заданную точку. Мы выбираем точку и можем быть почти уверены, что попадем в нее. В трехмерном же пространстве дело обстоит не так. Если мы рассматриваем аналогичную задачу в трехмерном пространстве, то мы имеем шесть возможных путей, шесть соседей, и, следовательно, вероятность попасть к данному соседу равна 1Iq. Если мы теперь поставим тот же самый вопрос для этой пространственной решетки, то получим ответ, что вероятность меньше единицы. Вероятность, что мы когда-нибудь попадем в выбранную точку, уже не равняется единице. Ее можно вычислить, и ответ выражается некоторым интегралом.
Эта разница между плоскостью и трехмерным пространством действительно очень интересна. На плоскости траектория в броуновском движении имеет тенденцию подходить произвольно близко к каждой точке, а в трехмерном пространстве это не так. Это важно для людей, которые не знают города и передвигаются, руководствуясь случаем. А именно, допустим, что Даллас *) является плоскостью. Вероятность, что такой человек когда-нибудь, в конце концов, попадет в отель «Мельроз», если будет на каждом перекрестке бросать монету, равняется единице. Очевидно, он может прийти в отель дорогой из Итаки или из Лос-Анжелоса. Если бы мы вы-
*) Автор читал эти лекции в Далласе (см. предисловие автора). (Прим. перев.)
158
числили среднее число его шагов, то получили бы бесконечность. Все это на самом деле было проверено экспериментально, когда меня везли в «Мельроз».
Эти результаты можно перенести на большее число измерений. Чем больше число измерений, тем меньше вероятность попадания в данную точку. Для каждого компактного образования, как, например, сфера, вероятность будет равняться единице, так как там действительно не хватает места. Проблема возникает только для некомпактных образований, где существует отчетливая возможность выбраться вовне. Рассматриваемое явление не исследовано с достаточной тщательностью для других поверхностей, кроме плоскости, но там можно применить тот же метод. В принципе легко дать ответ для случая любой поверхности, хотя никто никогда не доказывал этого вполне строго. Мы просто берем уравнение теплопроводности на данной поверхности и находим его фундаментальное решение. Затем мы берем интеграл от этого последнего по времени от нуля до бесконечности: так, как в равенстве (116). Если интеграл является конечным, то тогда мы знаем, что вероятность меньше единицы. Если интеграл бесконечен, то мы имеем тот же самый случай, что и на плоскости. Это зависит только от характера особенности решения уравнения теплопроводности.
