Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы знаем, с вероятностью 1, что кривая когда-нибудь войдет в область й. Можно, однако, спросить, какова вероятность того, что кривая войдет в область U до момента времени г? Иначе говоря, нас интересует
Prob [у + г (т) g Q для 0<ст ^t}. (147)
На плоскости, когда t стремится к бесконечности, эта вероятность должна стремиться к нулю. Заслуживает, однако, внимания то, что вероятность эта стремится к нулю асимптотически так же, как
(148)
\ogVt •
R (у) является двумерным аналогом объемного потенциала. А именно, это такая гармоническая функция, которая равна нулю на границе области и ведет себя в бесконечности как
С + log I у |. (149)
Иначе говоря, она имеет в бесконечности логарифмическую особенность.
Итак, даже здесь мы имеем вероятностную интерпретацию объемного потенциала, хотя и гораздо
173
менее приятную. Ее нельзя использовать для целей метода Монте-Карло, поскольку надо было бы ждать очень долго. Сходимость была бы очень медленной.
Чтобы все это доказать, надо изменить метод доказательств, которые становятся неприятными. Кое-что из этого было опубликовано; в частности, эта теорема была сформулирована (без доказательства) мною, а затем доказана одним из моих коллег. В настоящее время я, при весьма сильных предположениях, имею простое доказательство, которое появится в печати.
Заканчивая, сделаю несколько замечаний. Вы помните, что вся Другие меры, наша теория меры, начиная с од-
опирающиеся номерного случая, опиралась на
на уравнение х
Чепмена - функцию
Колмогорова 1 / (х — х0)*\ /л САЧ
_ехр(-1-^). (150)
Мы пользовались именно этой функцией потому, что она является решением уравнения Чепмена —¦ Колмогорова. Было бы интересно посмотреть, что бы произошло, если бы мы взяли другое решение этого уравнения, например, решение, о котором я упоминал ранее:
"й" *2 + (х _ Xq)2 - (151)
Второй момент здесь бесконечен. Так и должно быть. Ведь если второй момент конечен, то тогда мы можем получить только решение (150).
Итак, допустим, что мы хотим построить теорию меры, опирающуюся на решение (151). Мы делаем «окна» (см. стр. 135), рассматриваем множество траекторий, проходящих через них, и так далее. Однако затем, к нашему великому удивлению, мы обнаруживаем, что с вероятностью 1 траектории являются разрывными. Здесь это является одним из любопытнейших фактов. Мне кажется, что его впервые открыл Поль Леви. Мы не можем, следовательно,
174
построить меру в множестве непрерывных траекторий, исходя из функции (151). Самое большее, что мы можем сделать, это построить меру в некотором множестве разрывных функций.
Одним из интереснейших результатов является изменение, которое это вызывает в нашей теории потенциала. Интегральное уравнение (128) надо изменить. Можно, однако, получить формулу, похожую на (136). Теперь, когда и стремится к бесконечности, масса становится распределенной во всей области. В предыдущем случае она сосредоточивалась на границе. Разница является непосредственным следствием разрывности траекторий. Это очень интересно и захватывающе. Раньше одной из причин, по которой мы могли утверждать, что пересечение границы — то же самое, что и проникновение во внутренность области, была непрерывность траекторий. Теперь это уже не является верным, поскольку траектории могут совершать скачки. Можно проникнуть внутрь области, не пересекая границы. Следовательно, как вы видите, непрерывность траекторий в обычной теории потенциала эквивалентна тому, что заряд, вызывающий возникновение объемного потенциала, распределен на границе.
Мера в пространстве всех этих разрывных траекторий является весьма патологической конструкцией. Действительно, следует сохранять по отношению к ней далеко идущую осторожность. И тем не менее, она весьма тесно связана с чисто аналитическими задачами. Вы могли бы подумать, что такая мера может быть интересной только сама по себе, как пример того, какие плохие вещи можно получить. Оказывается, однако, что ее можно с успехом использовать при решении аналитических задач.
Я могу с успехом закончить этот цикл лекций знаменитым высказыванием Рассела или Уайтхеда: не помню точно, чьим. Один из них делал доклад, а другой был председателем. Скажем, Рассел был председателем, а Уайтхед — докладчиком. Доклад
175
был посвящен основам квантовой механики. Не только слушатели были уже по горло сыты этим докладом, но и председатель. Все было исключительно трудно, путанно и неясно. Когда доклад закончился, председатель почувствовал, что он должен как-то этот доклад прокомментировать. И вот он сказал только одну фразу, которая одновременно была и вежливой, и правдивой. Он просто сказал: «Мы должны быть благодарны докладчику за то, что он не затемняет далее этого и так уже достаточно запутанного предмета».
