Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Так, собственно, и поступали сначала, когда пробовали решать задачи этого рода. Старались решать это интегральное уравнение. Что мы должны сделать, чтобы решить такое интегральное уравнение? Один из простейших способов состоит в допущении, что функцию г|) (р) можно разложить по собственным функциям ф; интегрального уравнения (128):
(139)
(140)
оо
*(р) = 2 ^S*^r)dr^(rt- (141)
169
Это просто выражение, которое мы получили бы формально, принимая в формуле (138) 1/и равным нулю. Подставляя его в (139), получим
OO
j = i Q Q
что опять совпадает с нашей формулой (136), если в ней принять 1/и равным нулю.
Так что же во всем этом плохого? Это, несомненно, наиболее естественный путь решения рассматриваемой задачи. Однако он плох, так как ряд (142) не имеет смысла. С физической точки зрения это очевидно. В самом деле, известно, что нет такого распределения масс внутри Q, которое бы дало такой потенциал. Весь заряд сосредоточен на границе. Следовательно, нельзя было надеяться, что (142) даст нам что-либо осмысленное. Поскольку было известно, что нет такого распределения масс внутри Q, которое дало бы нам разумный результат, этот подход к задаче был отброшен.
Интересно, что небольшое изменение в (136) дает возможность вполне осмысленной интерпретации. Более того, эта интерпретация тесно связана с вероятностной точкой зрения. В связи с этим я хотел бы сделать еще следующее замечание: можно очень легко доказать, что ряд
OO
для конечного и является потенциалом распределения масс Его можно записать в виде
1 С (?)<*? (AAO^
При этом плотность массы г|;и(р) является неотрицательной. Для каждого конечного и получаем вполне хорошее распределение массы. Когда, однако, и стремится к бесконечности, эта функция становится
170
все меньше и меньше всюду внутри области Q. Масса все более и более сосредоточивается у границы. Следовательно, процесс и -> оо есть процесс «выметания» массы. Мы «выметаем» ее из внутренности области, и в пределе она вся собирается на границе.
Посмотрим теперь на соотношение Емкость (136) несколько иначе. Из него
можно очень легко узнать, чему равна емкость. Существует много определений емкости. Одно из них таково:
tf(y)~f7j. ІУІ-°о. (144)
Это определение говорит, что в бесконечности объемный потенциал ведет себя как некоторая постоянная, деленная на расстояние от точки до начала координат. Эта постоянная является емкостью. Теперь мы можем найти ее очень легко. Здесь, правда, возникает вопрос, можно ли изменить порядок предельных переходов, но этот пункт можно легко обосновать. Для больших у (136) принимает, следовательно, вид
оо [$<Pj(P)dp]3
U(у)^Um У -^— \^гт-. (145)
Теперь все члены ряда положительны, поэтому мы можем перейти под знаком суммы по и к бесконечности. При этом мы получаем следующую формулу для емкости:
оо [$Фі(р)^р]2
i=l
Здесь мы выразили емкость через собственные значения и функции интегрального уравнения (128). Формула (146) равносильна формуле, полученной из вариационного принципа.
Я хотел бы в конце сделать еще одно замечание. Все время мы здесь пользовались объемным интегральным уравнением (128). В наших рассуждениях
171
нигде не фигурировала поверхность. С чисто математической точки зрения это было очень выгодно. Рассуждения, в которых фигурирует поверхность, всегда очень трудоемки. Было бы весьма удивительно, если бы мы получили что-нибудь даром. Действительно, это далеко не так, и снова наша точка зрения выясняет это.
Допустим, что в области Q мы выдолбили дырку (рис. 12). Получившуюся в результате область назовем Q'. Выпустим теперь из точки у броуновскую частицу. Какова вероятность того, что частица будет находиться в Q' некоторое положительное время? Очевидно, она равна вероятности того, что частица
собственные функции и значения для Q' будут совсем другими. Однако удивительная комбинация (135) должна быть той же самой. Мы видим, следовательно, что можно вырезать довольно большой кусок области Q, получая при этом тот же самый ответ. Следовательно, ясно, что, по существу, мы имеем дело с поверхностным явлением. Ведь мы можем вырезать значительную часть объема Q, и это ничего не изменит. Для хорошей области это можно выразить следующим образом: вероятность нахождения в области Q в течение некоторого положительного времени равна вероятности пересечения ее границы. Однако если бы мы захотели построить теорию, беря за основу факт пересечения границы, мы оказались бы в затруднительном положении. Поэтому-то мы просто говорим, что это то же самое, что и пребывание в течение положительного времени внутри. А такое утверждение приводит к формулам с объемными интегралами, что много приятнее.
Рис. 12.
будет находиться в Q некоторое положительное время. Ведь если частица входит в область Q', то тем самым она входит также и в область Q. С другой стороны,
172
Случай двух Как выглядит дело в двумерном
измерении случае? При переходе к большому
числу измерений нет никаких усложнений. Этот переход является обыкновенным упражнением. Наоборот, при двух измерениях выступают все трудности, о которых я упоминал. Почти каждая броуновская траектория проводит бесконечно много времени в каждой области Q. Здесь, следовательно, прежнюю теорию сохранить нельзя, ее следует изменить. Изменения приводят к большому числу вычислений, от которых я вас избавлю. Я приведу вам готовый результат, по крайней мере вероятностную часть результата. Итак, возьмем снова область Q и точку у. Из точки у мы выпускаем броуновскую частицу.
