Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
функция, обращающаяся в нуль на бесконечности и принимающая данное граничное значение на границе области Q. Мимоходом, как нечто побочное, мы вывели для объемного потенциала формулу:
OO
Заслуживает внимания то обстоятельство, что хотя теория потенциала является теорией очень старой, эта формула до сих пор никем не была найдена. Она, как вы видите, весьма естественно возникает из приведенного рассуждения, которое я в первый раз провел в 1949 г. Нетрудно понять, почему так произошло. Вы могли бы сказать, что если и стремится к бесконечности, а в (136) мы имеем 1/г/, то здесь тогда не о чем хлопотать —- отбросим предел и вместо i/u подставим нуль. К несчастью, тогда ряд теряет смысл — он становится расходящимся. Поэтому-то сначала и отбрасывали подход, опирающийся на интегральное уравнение (128). Ведь он непосредственно приводил к расходящемуся ряду:
OO
166
Это, возможно, сыграло свою роль в истории науки, поскольку вызвало к жизни другой подход к той же задаче. Было введено понятие двойного слоя, что привело к развитию некоторых математических методов и идей. К формуле типа (136) хотел прийти Карл Нейман и другие, но без успеха. Она весьма несложным образом реализует то, что мы называем в математике методом суммируемости. Серьезной трудностью в (137) является расходимость. В (136) мы сделали некоторую поправку, и наше выражение стало вполне осмысленным.
Посмотрим, что происходит, когда у лежит внутри области Q. Тогда можно применить формулу (128) для г = у, и формула (135) упрощается, принимая вид
РгоЬ{ЗД, г(т))>0}^
со
= Hm У _^L_ ф (у) U^. (р) dp. (138)
Легко догадаться, что это такое. Если мы начинаем движение внутри области, то мы должны провести в ней некоторое положительное количество времени. Следовательно, вероятность, входящая в левую часть, является просто единицей, т. е. броуновская траектория, будучи непрерывной, не может сразу выйти за пределы области. Обратим внимание на легкость доказательства сходимости (138) к единице. Это почти тривиально; мы просто пользуемся тем фактом, что частица не может выскочить из внутренности области.
Теперь нас интересует, что делается на границе области. Итак, допустим, что у лежит на границе. Теперь мы не можем сказать, что вероятность пробыть некоторое время внутри области Q равна единице. Действительно, существуют точки, называемые нерегулярными, для которых это неверно. Граница в таких точках должна быть очень острой (рис. И). Первым привел соответствующий пример Лебег
167
около 1913 г. Эта ситуация отвечает хорошо известному факту электростатики. Если мы имеем очень острую точку на проводнике, то мы не можем сохранить постоянства потенциала — заряд утекает. Этот факт можно легко интерпретировать. Если броуновское движение начинается в такой точке, то с положительной вероятностью можно выйти из этой точки и никогда не войти в область Q. Однако предел (135) по-прежнему существует. Он существует для всех значений у; это не вызывает сомнения. Но он не обязан равняться единице. Если данная точка является регулярной, если она не является точкой, в которой граница очень остра, то тогда предел снова равняется единице. Интуитивно очевидно, что если мы имеем
точку, в которой граница закруглена, то существует достаточно большой шанс почти немедленного
Рис. И. вхождения в область.
Граница в данной точке должна быть очень острой, чтобы этого не произошло.
Взглянем теперь на формулу (136) и посмотрим, что происходит, когда у стремится к бесконечности. Ясно, что (136) стремится к нулю, поскольку каждое слагаемое стремится к нулю. Это без труда можно доказать вполне строго. Несколько более сложно проверить, что происходит, когда у приближается к границе. Это зависит от характера рассматриваемой точки. Если точка нерегулярна, то потенциал не будет приближаться к единице. Если же мы имеем «хорошую» границу, то можно доказать, что U(у) приближается к единице, когда у приближается к граничной точке. Итак, если вы верите моему интуитивному рассуждению, то вы видите, что U(у) действительно является тем, что называют объемным потенциалом. Это такой потенциал, который равен нулю на бесконечности и единице на границе везде, где только это возможно. Если существуют плохие точки, то, очевидно, такое положение невозможно.
168
ЛЕКЦИЯ ДЕСЯТАЯ
Я хотел бы теперь сделать несколько замечаний о том, как следует смотреть на некоторые вещи с вероятностной точки зрения. Если мы смотрим на задачу об объемном потенциале, следуя классическому образцу, то дело выглядит следующим образом: мы хотим иметь гармоническую функцию, обращающуюся в нуль на бесконечности и равную единице на границе. Мы можем принять очень естественную точку зрения. Будем стараться найти такое распределение массы г|) (р) в области Q, чтобы соответствующий потенциал
имел желаемые свойства. Действительно, это несомненно потенциал. К тому же это гармоническая функция, равная в бесконечности нулю. Только каким образом сделать ее равной единице на границе? Можно попробовать, скажете вы, положить ее равной единице всюду внутри области. Действительно, вы знаете из электростатики, что дело должно обстоять именно так. Потенциал внутри должен быть равномерным. Отсюда получаем интегральное уравнение
