Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
ЛЕКЦИЯ ДЕВЯТАЯ
В этой лекции я хотел бы, насколько это возможно, показать вам, как можно применить интегрирование в функциональном пространстве к классической теории потенциала. Мы начнем с того же, что и раньше; разница будет состоять лишь в том, что теперь мы будем двигаться в трехмерном пространстве. Мы переходим к трехмерному пространству потому, что при двух измере-
Теория потенциала
152
ниях появляются некоторые специфические явления. Итак, допустим, что мы имеем некоторую область Q (рис. 9) и рассматриваем трехмерное броуновское движение. Допустим, что частица начинает движение из начала координат г = 0. Вспомним, что мы делали с х(х) (с процессом Винера). Мы построили некоторые основные области и назначили ,
для них вероятности. Здесь мы поступим весьма сходным образом, а что касается принципиальной стороны дела, то это будет полной аналогией. х(х) становится теперь вектором r(t). Снова выберем п момен- /Ъ
тов времени tx <^ t2 <^ ... <^ tn. / Вместо интервалов возьмем те- / перь п произвольных открытых Рис. 9.
множеств Q1, Q2, Qn. Какова вероятность (какова мера) тех траекторий, для которых T^1)GQ1, r(?2)?Q2,..., r(tn)^Qn? Это снова кратный интеграл
•••P(rn-i\rn, tn-^1). (108)
Здесь каждый интеграл означает тройной интеграл. P (р I г, t) является теперь распределением Гаусса для трех измерений:
ры = (109)
Аналогия полная. Мы можем построить теорию меры точно таким же образом, как и раньше, исходя из этих множеств, меру которых мы знаем. Однако этого не требуется. Мы не обязаны второй раз повторять этот процесс. Мы можем взять уже введенную меру и просто построить так называемую меру-произведение. Вы уже познакомились с обоими путями и можете выбрать один из них.
153
Итак, мы уже имеем меру, а тем самым имеем возможность интегрировать в пространстве всех непрерывных траекторий. В нашем случае траектории начинаются в начале координат. Пользуясь этим математическим аппаратом, мы можем без труда построить теорию потенциала в трехмерном пространстве. Задача, которой мы займемся, состоит в следующем. Возьмем некоторую область Q и некоторую точку у. На рис. 10 эта точка помещена вне
области, но она может находиться где угодно. Рассмотрим теперь у+г (г). Это — траектория в броуновском движении, которая начинается в точке у рис IQ вместо начала координат.
В этом только и заключается разница. Вопрос теперь состоит в том, чтобы узнать, сколько времени частица, движущаяся по этой траектории, проведет в области Q.
Для удобства введем следующую Среднее время, функцию, которое броуновская J 1, когда х ? Q,
частица проводит V(x) === I (110)
в области Q 10, когда х І Q.
Это просто характеристическая функция области Q. Рассмотрим следующий функционал: ^
TQ(y, r(x)) = \V(y + r(x))dx. (Ill)
о
Этот интеграл может быть бесконечным, но нас прежде всего интересует, каков его смысл. Когда у+г(х) находится в области Q, тогда мы интегрируем просто единицу. В противном случае мы интегрируем нуль. Интеграл, следовательно, дает полное время, какое кривая проводит в области Q. Оно, очевидно, зависит от того, по какой кривой г(х) движется броуновская частица.
Сосчитаем теперь среднее значение величины (у +г(т)). Среднее значение означает интеграл
154
относительно введенной нами меры. Иногда оно называется математическим ожиданием и для его обозначения используется символ Е. Итак, мы хотим вычислить
OO
Е{Та(у, r(x))}=E{\V(y + r(x))dx). (112)
О
Применим здесь обычный прием. Изменим порядок этих двух операций (памятуя, что оператор E является также интегрированием — интегрированием в функциональном пространстве) и получим
OO
E{TQ(y, r(x))}=\dxE{V(y + r(x))}. (ИЗ)
О
Значение этого выражения ясно, так как функция V есть или нуль или единица, в зависимости от того, находится ли у + г(т) в области Q или нет. Достаточно минутного раздумья, чтобы убедиться в том, что
OO
E{Tu(y, г (X))} = JdT[PrOb {у + г (т) ? Q}]. (114)
О
Вероятность того, что у + г(т) ? Q, можно непосредственно получить из нашего основного допущения. Получаем
Е{То{9, гШ-y^drl^-. (115) Снова изменим порядок интегрирования:
е 2*
E{TQ{y, г {X))} ^ Y^x ^-^-. (116)
Последний интеграл хорошо известен. Его можно найти почти во всех учебниках, посвященных преобразованию Лапласа. Подставляя его значение, получаем окончательный результат:
155
Для трех и большего числа измерений этот интеграл конечен. Это верно даже тогда, когда у находится внутри области Q. В этом можно убедиться, вводя полярные координаты. Подынтегральная функция, грубо говоря, равна а элемент поверхности
имеет порядок г2. Интеграл, следовательно, заведомо сходится.
Какой из всего этого можно сделать вывод? В данный момент мы знаем, что среднее значение величины Tq (у, т (т)) конечно. Но сама эта величина неотрицательна. Если же среднее значение неотрицательной величины конечно, то с вероятностью 1 сама величина должна быть конечной. Если бы она была бесконечной с ненулевой вероятностью, то, очевидно, среднее значение также должно было бы быть бесконечным. Мы, следовательно, обнаружили весьма интересный и весьма простой факт: почти каждая кривая в броуновском движении проводит конечное время в области конечного объема (я употребил здесь выражение «почти каждая» в математическом смысле: почти каждая кривая — это значит, что все кривые, за исключением множества кривых меры нуль). На плоскости дело обстоит иначе. Поэтому плоскость надо рассматривать отдельно.
