Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
(95)
Это — основная формула.
Теперь мы уже находимся почти у цели. По крайней мере, интуитивное рассуждение приводит нас к цели почти немедленно .Осуществление же каждого шага в отдельности не является таким уж тривиальным. Введем снова функцию
А (X) = числу тех Xj1 которые<^Х.
Сумму можно записать в виде интеграла
OO OO
2>~"V = \e-udA (X)1 (96)
7=1 О
145
что весьма выгодно. Я уже показал вам на последней лекции, что для того, чтобы найти поведение А (к) при больших 1K1 я должен найти поведение интеграла при малых t. И как раз здесь обнаруживается большая польза, какую дает нам наша точка зрения. Ведь поведение интеграла при малых t видно почти сразу. Задержимся над этим на минуту и посмотрим, что здесь происходит. X (т) является траекторией в броуновском движении. Вы помните, что в момент времени t = О траектория начинается в точке х = 0. Это было нашим предположением. Кроме того, мы рассматриваем только те броуновские траектории, которые в момент времени t возвращаются в точку х = 0. Таково значение условного математического ожидания. Следовательно, в нулевой момент времени траектория находится в точке х = 0 и почти сразу потом снова принимает значение нуль. Вы согласитесь со мной, что очень мало вероятно, чтобы X (т) было большим в промежутке между этими двумя моментами времени. Иначе говоря, хорошим первым приближением для сложной броуновской траектории является замена ее хордой, соединяющей ее конечные точки. Ведь функция не может слишком от нее отклоняться. Кривая, очевидно, очень сильно колеблется, но ведь мы не аппроксимируем производную, мы аппроксимируем только функцию! Надо было бы, очевидно, доказать, что вероятность больших отклонений за короткое время весьма мала. Но вы, наверное, интуитивно в это верите.
Итак, мы просто отсекаем изгибы нашей траектории X (т). Таково наше приближение. Правая часть формулы (95) приобретает тогда вид
OO
-fL=- {dxE{e-tvM\x(t) = 0}. (97)
у 2ш J
' - OO
Что теперь можно сказать об этом условном математическом ожидании? Как вы видите, мы просто берем условное математическое ожидание постоянной. Мы интегрируем постоянную по множеству меры 1 и,
146
следовательно, в результате получаем как раз эту постоянную. Для малых t имеем поэтому
OO
1 f dxe-ivw. (98)
Мы должны принять, помимо всех прочих предположений, еще предположение о том, что этот интеграл имеет смысл. Чтобы он существовал, функция V (х) должна расти достаточно быстро. Например, V (х) = = log I X I растет слишком медленно.
Применим теперь простой прием. А именно, заметим, что
OO -OO
Это всего-навсего сложный способ записи ^_ .
Vint
Тогда (98) примет вид
СО СО /^2
2я
s S $«-'^+vwW. (loo)
Если вам знакома квантовая механика или даже только классическая механика, вы сразу узнаете
выражение ^y + V(x). Я даже употребил здесь
как раз букву р, а не какую-либо другую. Это просто гамильтониан частицы, движущейся в соответствии с потенциалом V (х). Очевидно, масса здесь равна единице.
Запишем теперь этот интеграл в весьма поучительной форме. Возьмем область
^+V (X) <1. (101)
Это — некоторая область в фазовом пространстве. Если бы мы, например, имели дело с гармоническим осциллятором, для которого V (х) =- X2/2, то тогда эта область была бы кругом радиуса У2% . Площадь этой области обозначим В (X). Ее можно вычислить.
147
Теперь двойной интеграл (100) мы можем записать весьма приятным образом:
СО OO /^2 \ OO
_Ljj le-'U + ^dpdx-^-bdBV). (102)
— со— оо О
Сравним теперь то, что нас интересует, с тем, что мы получили. При t, стремящемся к нулю, эти выражения асимптотически равны:
СО OO
e~udA(X)~^ J e-MdB(%). (103)
Мы должны теперь применить теорему тауберова типа точно так же, как прежде. Чтобы все было вполне строгим, надо сделать несколько дальнейших предположений о V (х). Во всяком случае, интуитивно почти очевидно, что
A (X) ~-^В (X)1 когда X — оо. (104).
Это означает, что число собственных значений, которые меньше X1 асимптотически выражается площадью области фазового пространства, в которой гамильтониан системы меньше X1 причем эта площадь должна быть поделена на 2я.
Этот результат хорошо известен в квантовой механике. Им всегда пользуются при доказательстве того факта, что для очень больших квантовых чисел классическая механика и квантовая механика согласуются. В действительности все это гораздо более старо, чем я только что указал, и связано со старой теорией квантов, существовавшей задолго до уравнения Шредингера. Вы знаете, что в обычной классической механике допускаются все значения энергии. Планк, наоборот, решил допускать только такие значения энергии, для которых площадь В (X) кратна некоторой основной единице.
Некоторые из формальных переходов, которые я здесь производил, далеко не тривиальны. Их очень подробно обосновал Д. Рэй в своей докторской
148
работе. Он пошел даже значительно дальше. Сила интуитивного рассуждения является, однако, потрясающей. Сразу становится абсолютно ясно, какова должна быть аппроксимация. Если мы поступаем иначе, то все становится трудным, так как из соотношения (93) мы ничего не можем узнать. Если, однако, мы запишем Q (х0 \ X1 t) в виде (90), тогда путь становится прямым и его видно на километры вперед. Геометрически очевидно, что за короткое время траекторию в броуновском движении можно аппроксимировать прямой линией. А затем все, что нам требуется, это утверждение о том, что асимптотическому поведению для больших собственных значений соответствует поведение нашей траектории за короткое время.
