Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим здесь, насколько полезно рассмотрение математического уравнения в связи с разными физическими задачами. Когда мы смотрим на них с данной точки зрения, мы можем открыть гораздо больше, чем когда мы смотрим на них с другой точки зрения. Поэтому следует даже известные вещи формулировать по-разному всеми возможными способами. Чтобы закончить эту историю, я покажу вам, что наш принцип не только выясняет результат, но и
125
подсказывает детальное доказательство. Я утверждаю, что можно непосредственно получить неравенство:
P (х0, у0 |х, у, *)<^ exp (-(fL-^ + fr-*)'). (60)
С физической точки зрения это тривиально. Действительно, что это неравенство означает? Оно означает, что концентрация в случае существования поглощающего барьера меньше, чем в случае отсутствия такого барьера.
Неравенство в обратную сторону найти лишь немногим труднее. Нарисуем около точки (х01 у0)
другую кривую Г' (рис. 6), лежащую полностью внутри кривой Г. Рассмотрим теперь ту же самую задачу с кривой Г" вместо Г. Поместим абсорбирующие. 6 щий барьер вдоль кривой Г". Обозначим решение через P' (х0, у0 I х, у, t). Я утверждаю, что P не меньше, чем Р'\
Р'(%о> Уо\х> У> t) ^Р(х0, у0\х, у, t). (61)
Ведь теперь вещество поглощается раньше. В первой задаче вещество могло пройти через кривую Г', а затем вернуться обратно, не будучи поглощенным. Если мы поместим поглощающий барьер вдоль кривой Г', это будет уже невозможным. А следовательно, P больше, чем P'. Что теперь следует сделать? Выбрать границу Г" так, чтобы можно было найти P'. Такой границей является окружность или прямоугольник. Итак, мы имеем неравенства в обе стороны, справедливые для всех хну. Мы можем взять х = X0 иг/ = г/0 и тогда получим
Р(х, у\х, у, 0<2e~V<PH*. (62)
3
Это неравенство справедливо для каждой точки (х, у) при условии, что мы построим около нее неко-
126
торый квадрат. Допустим теперь, что вся область покрыта маленькими квадратиками. В центре каждого квадратика наше неравенство выполнено. Затем мы просто-напросто проведем интегрирование. Чтобы с этим покончить, мы должны, очевидно, знать, как ведет себя левая сторона (62), когда t стремится к нулю. Но ведь для квадрата мы знаем решение в явном виде, и можно просто проверить, что происходит, когда t -> 0. Итак, мы имеем очень короткий набросок полного, в принципе, доказательства.
Я хотел бы сделать одно замечание. Доказательство проходит так хорошо потому, что мы имеем все эти неравенства, которые связаны со свойствами параболических уравнений. Одно дело — ясно видеть некоторые вещи, а другое дело — уметь их доказать. Если бы мы хотели решить ту же самую задачу для бигармонического уравнения, то все еще можно было бы сформулировать принцип неощущае-мости границы. Мы смогли бы еще получить некоторый ответ, но совершенно не знали бы, как его доказать. Ведь соответствующих неравенств нет, например, для бигармонического уравнения в теории тепла. В нашей задаче о диффузии P (х0, у0 | х, г/, /) остается все время положительным. Неравенства совершенно очевидны, и их доказательства интуитивно очень ясны.
Теперь возникает очень интересный вопрос. Какие уравнения имеют, а какие не имеют свойства, которые нам требуются? Если мы имеем эллиптический оператор Л второго порядка, то для соответствующего уравнения -^- = AP мы будем иметь все
нужные нам неравенства. Не думаю, чтобы для уравнений более высокого порядка кто-либо действительно знал, что надо делать.
Мы имели здесь пример классической теоремы, излагаемой во всех учебниках, которую можно рассматривать, применяя вероятностный подход. Наша задача была чисто математической задачей из теории дифференциальных уравнений. Нельзя, однако, пренебрегать тем фактом, что она возникла из некоторой
127
физической задачи. Ведь знание того, откуда задача возникла, дает нам метод подхода к ней. Мы видели также, что иногда более полезно рассматривать задачу в связи с ее возникновением из данной физической проблемы, а не из какой-либо другой. Весьма выгодно смотреть на уравнение с разных точек зрения и отдавать себе отчет в том, какова ее физическая интерпретация. Поэтому я также думаю, что если когда-нибудь наступит действительный прогресс в теории нелинейных дифференциальных уравнений, то он наступит только тогда, когда будет накоплено соответствующее количество физических знаний, так что интуиция будет усовершенствована.
Остаток времени я хотел бы посвятить рассмотрению задач, возникающих из простейших примеров
Броуновское движение
броуновского движения. Готовясь к лекции, я думал, что смогу изложить значительно больше материала из теории броуновского движения. Но, оказывается, люди всегда бывают слишком оптимистичны, когда дело идет о количестве времени, которым они располагают. В результате я буду вынужден ограничиться так называемым броуновским движением свободной частицы. Оно вам уже хорошо известно из классической теории Эйнштейна и Смолуховского. Я, однако, взгляну на него с несколько иной точки зрения, которую я мог бы охарактеризовать вам как интегрирование в функциональных пространствах.
