Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кац М. -> "Несколько вероятностных задач физики и математики" -> 41

Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.

Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. Под редакцией Випра И.Г. — М.: Наука, 1967. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): nesklverzadpofizimat1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 53 >> Следующая


(68)

131

благодаря допущению о независимости будущего от прошлого. Искомая вероятность равна просто

?i К

]... \ P(X0Ix11 tx)X а, ап

У( P (X1Ix2, t2 ^1) ... P (хп__! I xn, tn t J1^i) X

XdX1 ... dxn (70) (мы, очевидно, предполагаем, что

О <к< ч <-<Q.

Под знаком интеграла мы имеем произведение вероятностей. То, что вероятность всегда можно представить в виде такого произведения, следует из независимости приращений за непересекающиеся промежутки времени.

Вы могли бы сказать, что на этой Мера Винера лекции вы не узнали в принципе

ничего нового. Искомая вероятность выражается просто через основные вероятности перемещений. Однако я могу этот материал сделать началом теории меры, если выберу следующую точку

Рис. 7.

зрения. Возьмем траекторию частицы в пространстве-времени (рис. 7). Рассмотрим всевозможные траектории, которые может избрать частица. Некоторые из них могут быть даже разрывными. A priori мы не знаем, каковы эти траектории. Рассмотрим поэтому множество всевозможных функций X (t) таких, что X (0) = 0. Обозначим это множество функций, или траекторий, через S.

132

В этом пространстве S я хочу теперь ввести понятие меры. Это просто означает, что я хочу ввести некоторый аналог объема или площади. Мы уже ранее начали вводить это понятие, так как знаем меру некоторых множеств. Поясним его более детально, воспользовавшись рис. 8. На оси времени у нас отмечены точки I1 <^ t2 <^ ... <[ tn. Над этими точками изображены интервалы ((X1, ?x), (а2, ?2),..., (ап, ?n). Эти интервалы носят название «окон». Рассмотрим теперь множество всех траекторий, которые проходят через эти «окна». Это, очевидно,

Рис. 8.

некоторое подмножество исходного множества. Этому подмножеству мы соотнесем меру, заданную формулой (70).

Напомню, как поступают в обычной теории меры. Например, на плоскости рассматривают сначала некоторые элементарные фигуры, скажем, прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Затем этим элементарным множествам соотносят меру — попросту их площадь. Далее, из этих множеств можно построить более сложные множества. Например, можно построить круг из бесконечного числа таких прямоугольников (неперекрывающихся, если об этом позаботиться). Затем мы просто-напросто добавляем аксиому, гласящую, что мера каждого множества, составленного из таких непересекающихся множеств, равна сумме мер этих множеств. Таким образом, мы определяем меру множеств, гораздо более интересных, чем прямоугольники.

133

На рис. 8 мы можем выбирать наши «окна» самыми разнообразными способами. Каждый такой выбор определяет нам некоторое множество траекторий, а именно, множество траекторий, проходящих через эти «окна». Эти множества играют здесь роль прямоугольников. Они являются элементарными множествами. Их мера дается элементарной теорией броуновского движения (говоря конкретно, формулой (70)). Но тогда почему бы нам не взять за образец теорию меры на плоскости и не поставить вопрос о мере более интересных множеств, например, о мере множества всех тех траекторий, для которых

t

$я2(т)Л<а? (71)

о

Прежде чем мы найдем меру этого множества, мы должны заняться другими вопросами. Хотя введенная нами мера обладает большинством свойств обычной меры, однако она также обладает некоторыми весьма интересными специфическими особенностями. Возьмем, например, множество всевозможных непрерывных траекторий. Мы хотим найти меру этого множества. Я не буду входить во все подробности, так как это довольно сложное дело. Во всяком случае, горькой для нас истиной является то обстоятельство, что множество С всех непрерывных траекторий является неизмеримым. Немного подробнее: внешняя мера множества С равна 1, а внутренняя нулю. Чтобы найти внешнюю меру, мы просто покрываем множество непрерывных функций системой измеримых множеств и берем меру этой системы. Очевидно, мы можем сделать это многими способами. Возьмем нижнюю грань мер всевозможных таких систем. Тогда мы как раз и получим 1. Чтобы получить внутреннюю меру, сделаем то же самое с дополнением множества С и вычтем результат из 1. Оказывается, мы получаем в результате нуль.

Это очень неприятно. Ведь интуитивно чувствуется, что траектории в броуновском движении

134

должны быть непрерывными. Итак, что же нам делать? Просто с самого начала соотнесем множеству С непрерывных функций меру 1. Затем мы должны снова провести приведенные выше рассуждения и убедиться в том, что полученная мера является разумной. Это можно сделать, и в результате мы получаем меру, которая в настоящее время известна под названием меры Винера *) и которую ввел первым Норберт Винер несколько иным способом. Это — мера в пространстве непрерывных функций, базирующаяся на элементарных множествах — квазиинтервалах (как их часто называют).

Располагая этой мерой, мы можем ответить на много интересных вопросов. Мы можем теперь задать вопрос о мере дифференцируемых функций. Оказывается, это множество измеримо, и мера его равна нулю. Это означает, что почти каждая броуновская траектория недифференцируема. Это приятный результат, так как каждый, кто наблюдает броуновское движение под микроскопом, замечает, что оно очень нерегулярно. Как раз это и дает нам — в математической идеализации — наша специфическая
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed