Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Q(X0Ix1 t)—>o(x — Xq)1 когда t—>0. (83)
Следовательно, если частица начинает движение из точки х0 вместо X — 0, то получаем
OO OO
E {ехр (— и J V (х0+ X (х)) dx)} = $ Q (х0 | X11) dx.
О — оо
(84)
Что можно сказать о пределах интегрирования? Почему мы интегрируем от —оо до -f-оо? Потому,
141
что мы ничего не сказали о том, где мы в конце концов будем находиться. Нас интересовала только вероятность выживания. Допустим теперь, что мы хотим интегрировать от а до Ь. Как мы должны изменить левую часть? Вы видите, что теперь мы задаем вопрос о вероятности не только выживания, а о вероятности выживания и попадания, в конце концов, в интервал между а и Ь. Значит, мы можем написать
со
E{ехр (— и $ V(х0 -f X (х)) dx); а<^х0 + х(t) <6} = о
ь
*=\Q(x0\x, t)dx. (85)
а
Смысл этого обозначения заключается в том, что интегрирование в левой части осуществляется не по всем траекториям, а только по траекториям, заканчивающимся между а и Ь.
Возьмем теперь а — X — єиЬ = я + еи поделим обе части равенства на интеграл
S W da- (8б)
а '
Немного погодя вы увидите, почему мы делим на этот интеграл. Получаем
со
E {ехр (—и j V(x0 + X (т)) dx}; х — є <х0 + x(t) <х + є}
r X— є
v ехр — 10 ' du
(87)
я— є
Слева мы имеем очень понятное выражение. Знаме-
142
натель есть просто вероятность того, что X0 + X (т) лежит между X — є и X + ?• Это следует из моей первоначальной простой теории. Числитель же есть интеграл по некоторому множеству траекторий, кончающихся между одними и теми же пределами X — є и X + е. Левая часть есть, таким образом, условное математическое ожидание. Для нее существует специальный символ, а именно, мы пишем: t
E jexp (— и ^ V(x0 + X (т)) dx^j | ж — 8 <^ х0 ~f-
+ x(t)<x + s}. (88)
Пусть теперь є стремится к нулю: t
E jexp(— V (х0 + X (х)) dx) JX(t) + х0 = х} = о
<?0*о1*, О
(89)
Это требует некоторых пояснений, если мы хотим все сделать вполне точно, однако интуитивно вы это, наверняка, видите. Наконец, освободившись от знаменателя, получаем формулу;
Q(x0\x, *) =
1 / (х — х0)*\
t
X E { ехр (—и J F(^0 + X (X)) dxJ J я (*) = X — х0}. (90) о
Вы могли бы теперь спросить: «А какая нам от этого польза? Мы взяли классическое выражение — фундаментальное решение некоторого дифференциального уравнения — и трудолюбиво записали его в виде среднего значения, взятого по функциональному пространству. К чему это приводит?» Чтобы показать вам, что мы нашли, я докажу одну теорему, которая очень важна для квантовой
143
механики. Доказательство будет напоминать то доказательство, которое я провел на последней лекции. Вы увидите, что сама формулировка почти приводит нас к решению.
Теорема касается распределения Собственные собственных значений уравнения
значения уравнения Шредингера. Для доказательства Шредингера надо сделать некоторые предпо-
ложения относительно функции
V (х). До сих пор она была абсолютно произвольной. Предположим теперь, что функция V (х) симметрична, т. е. V (х) = V (— х). Впрочем, это не очень важно. Предположим также, что V (х) стремится к бесконечности, когда X стремится к бесконечности. Это уже важно. Примем также, что w=l, поскольку это не имеет существенного значения. Наше уравнение примет, следовательно, вид
3-ИЗ"'<•»«• (И)
Присоединим к этому уравнению соответствующую задачу о собственных значениях. Получаем ее, разделяя обычным способом переменные:
43-*W = -M>. (92)
А это как раз уравнение Шредингера с потенциалом V(x).
Доказано, что спектр здесь является дискретным множеством. Именно это заставило нас наложить на
V (х) некоторые условия. Если бы V (х) не стремилось на обоих концах к бесконечности, то тогда спектр мог бы быть непрерывным и могли бы произойти всякие неприятности. Поэтому-то мы ограничимся дискретным случаем.
Если мы имеем собственные значения X11 X21 ... и соответственно нормированные собственные функции ^1, гр2, то мы можем написать очень простое выражение
Q (? I *, *) = 2 гЧ Ь (*о) % (X)- (93)
144
Это — снова почти классический результат. Это — решение уравнения (91). Последнее же не идентично зависящему от времени уравнению Шредингера. В зависящем от времени уравнении Шредингера фигурирует і. Если мы, однако, выполним разделение переменных, то получим как раз уравнение (92). Следовательно, можно считать, что не зависящее от времени уравнение Шредингера (92) возникает из параболического уравнения (91). И это как раз то не зависящее от времени уравнение, которое дает нам собственные значения и функции.
Для Q (х0 I X1 t) мы имеем выражение (90). Если мы примем X = х01 то тогда получим
1>хр (—V)^H =
з
t
= yhtЕ Ьр (~ \v {х+х (т)) dx)1 х {t) = °} • (94)
Чтобы теперь исключить (х) (в настоящий момент они нас не интересуют), проинтегрируем обе части по х. Поскольку интеграл от г|э| (х) равняется 1 (ведь эти функции нормированы), мы получаем
OO
Цехр (-V) =
OO t
= уУ § <*жЯ{ехр(- I 7 (a;+ as (т)) dt) I «(O= О}.
