Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Как оригинальная теория Эйнштейна и Смолуховского подходит к простейшему случаю броуновского движения? Возьмем прямую линию и допустим, что у нас имеется броуновская частица, начинающая движение из точки X = X0. Чепмен™— Предположим с самого начала,
Колмогорова что можно предвидеть плотность
вероятности P (х0 I х, t). Если мы умножим ее на dx, то мы получим просто вероятность того, что частица находится между х и х + dx в момент времени при условии, что она начала движение из точки х0. Предположим теперь, что
128
будущее не зависит от прошлого. Математически мы можем это сформулировать следующим образом:
OO
P(S0Ix1Q= \P{xu\y,f)P{y\x,t-t')dy. (63)
— СО
Чтобы это увидеть, заметим, что P (х0 \ X1 t) есть вероятность перехода за время / из точки х0 в точку х. Но в некоторый промежуточный момент времени, скажем, t\ частица должна где-то находиться. Допустим, что в момент времени t' частица находится в точке у. А следовательно, за время Ґ мы совершили переход из точки X0 в точку у, а затем за время t — Ґ — переход из точки у в точку х. Какова вероятность такого перехода? Так как будущее не зависит от прошлого, эта вероятность равна произведению двух вероятностей. Это произведение есть как раз подынтегральная функция в уравнении (63). Поскольку, однако, мы не знаем у и оно может быть любым, мы должны проинтегрировать по всем у.
Это — знаменитое уравнение, известное под разными названиями, в зависимости от того, говорит о нем математик или физик. В математической литературе оно носит название уравнения Чепмена — Колмогорова, хотя я совершенно не знаю, почему с ним связывается имя Чепмена. Среди физиков это уравнение известно как уравнение Смолуховского, поскольку он его рассматривал весьма обстоятельно. Заметим, и это очень интересно, что сходное уравнение можно также написать в квантовой механике с той лишь разницей, что в нем уже не будет плотности вероятности. Вместо нее выступает некоторая комплексная функция, называемая амплитудой вероятности. Одной из причин этого явления является то обстоятельство, что в квантовой механике мы уже не можем провести приведенное рассуждение. Мы не можем сказать, что если в момент времени t частица находится в каком-то месте, а в момент Ґ — в другом месте, то в промежуточные моменты времени она должна тоже где-то находиться. Очень интересно, почему это так. В квантовой механике всегда надо
129
смотреть на вещи с точки зрения возможности выполнения над ними соответствующих опытов.Чтобы найти положение частицы в промежуточный момент времени, надо провести некоторый опыт. Но этот опыт изменит окончательное положение частицы. Каждый опыт, какой только можно себе представить, некоторым образом нарушит положение частицы.
Если мы не делаем никаких даль-Чшмена ^}авнения нейших предположений, то тогда Колмогорова существует очень много решений
нашего уравнения (63). Это имеет место даже в случае пространственной однородности, т. е. в случае, когда P (х0 \ X1 t) зависит только от разности X — ?0, а не от х и х0 в отдельности. Мы можем даже пойти еще дальше. Мы можем рассматривать случай, когда имеется симметрия: P (х0 \ X1 і) зависит только от абсолютной величины \х — х0\
P(Ix-X0I t) =
оо
= $ P(|a;-j,|, t')P(\y-x0\, t-t')dy. (64)
-OO
Вероятность движения в обоих направлениях одинакова. Даже в этом случае имеется много решений нашего уравнения. Например, в некоторой степени необычным решением, может быть, вам неизвестным, является
Ht* + (X-X0)2' (65)
Подстановкой в уравнение можно проверить, что это действительно решение. Существует также много других решений.
Если, однако, предположить, кроме симметрии, что второй момент является конечным, то тогда существует только одно решение, а точнее, только один вид решения. А именно, этим решением является распределение Гаусса
130
а2 является вторым моментом, т. е. средним квадратичным отклонением:
OO
§ (х— X0)2P(X — X0, t)dx<^oo.
(67)
— OO
Конечность этого момента является действительно причиной единственности решения (66). Вы, конечно, узнаете в нем решение уравнения диффузии. Я покажу вам, как можно формально вернуть уравнению (64) вид уравнения диффузии в случае, когда второй момент (67) конечен.
ЛЕКЦИЯ ВОСЬМАЯ
Мы убедились в том, что в случае, когда имеется симметрия и пространственная однородность, единственным решением с конечным вторым моментом уравнения (63) является
По крайней мере, вы мне поверили, что это действительно так. Переписывая это решение, я принял теперь, что а = 1. Эта функция, очевидно, является хорошо известным фундаментальным решением уравнения
Записывая основное уравнение (63), мы пользовались предположением о независимости будущего от прошлого. Пользуясь этим предположением, можно решить более сложную задачу. Можно спросить себя, например, какова вероятность пребывания частицы в интервале (<хг, ?x) в момент времени I1, в интервале (а2> Рг) — в момент времени t2, в интервале (an, ?n) — в момент времени tn. Эта задача допускает непосредственное решение, поскольку ответ можно просто выразить через вероятность P (х0 I X, І) элементарных перемещений. Это можно сделать
