Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
*) Мера Винера введена около 1922 года. Она появилась в ряде работ в MIT Journal of Mathematics and Physics. Эти работы были не очень понятными, так что долгое время на них не обращали внимания. Они были исключительным явлением, так как в то время в Америке очень мало людей знало даже обычную теорию меры. Поэтому никто не предвидел их значения. Довольно хорошее изложение этих вещей находится в книге Палея и Винера. Вы найдете их в разделе о случайных функциях. Затем все это было сделано на гораздо более абстрактном уровне. Если вас не испугает небольшая доза абстракции, то вы найдете это сделанным в полной общности в книге Дуба о стохастических процессах. Все методы введения указанной меры с дидактической точки зрения до некоторой степени неудовлетворительны. По моему мнению, наилучшим методом по-прежнему остается метод Палея и Винера. Но и он имеет много важных недочетов. У Дуба мы находим относительно простую формулировку, однако она влечет за собой много скучных подробностей.
Очень жаль, что в большей части современной литературы (в частности, в книге Дуба) мы почти не находим признания основополагающей работы Винера, которого эта работа заел у живает,
135
мера. В действительности она позволяет доказать значительно больше. Например, она позволяет доказать, что почти каждая траектория имеет неограниченную вариацию. Можно, следовательно, сказать, что почти каждая траектория имеет бесконечную длину. Это, может быть, несколько менее приятно, однако это следствие из нашей теории меры и ничего тут не поделаешь. Оказывается, далее, что множество функций, удовлетворяющих условию (71), измеримо. Его меру можно вычислить. Получается сложная формула, содержащая эллиптические функции, но я не хочу вас этим затруднять.
Вы могли бы подумать, что такая патологическая конструкция, как мера Винера, должна быть относительно мало полезной. Вас, наверное, удивит тот факт, что мера Винера имеет в действительности заслуживающие внимания приложения в теории дифференциальных уравнений Это на самом деле интересный путь: мы исходим из обычных сто-
~ . хастических процессов в физике,
Один функционал, г ґ х
его распределение переходим в процессе абстракции и связанное с ним к теории меры, а затем возвра-дифференциальное щаемся к рассмотрению известных уравнение классических дифференциальных
уравнений с неизвестной, несколько необычной точки зрения. Чтобы это проиллюстрировать, я рассмотрю с вами одну весьма фундаментальную задачу. Я буду трактовать ее более или менее эвристически, поскольку строгие, педантичные доказательства можно найти в литературе.
Возьмем достаточно «хорошую» функцию V (х) и рассмотрим следующее выражение:
t
\V(x(x))d%. (72)
о
Если случится так, что V (х) = х2, то мы получаем в точности (71). Такое выражение называется функционалом, так как независимой переменной здесь является функция — вся траектория х {t). Функ-
136
ционал не является функцией одной или даже любого конечного числа переменных; чтобы найти его значение, мы должны знать всю непрерывную траекторию X (t). Такие вещи хорошо известны в вариационном исчислении. Там мы стараемся найти минимум или максимум не функции, а функционала.
Наш функционал (72) может принимать разные значения, в зависимости от выбора броуновской траектории. Это зависит от того, как наша частица решит двигаться. Как в каждой статистической теории, нас, очевидно, интересует распределение этих значений. Теперь функция распределения определена вполне корректно: это просто мера множества тех траекторий, для которых (72) меньше, чем а. Обозначим ее через а (а, і):
а (а, t) = u.J$ F(s(T))dt<aJ. (73)
Меру Винера я обозначил через |л. Это, очевидно, то же самое, что и вероятность. Эти два термина являются синонимами.
Теперь я могу продвинуться немного дальше. Я буду пользоваться средствами, известными каждому, кто занимается хотя бы элементарной статистикой. Каждый знает, что, вообще говоря, для определения функции распределения достаточно знать моменты этого распределения. Но вместо моментов я буду пользоваться производящей функцией моментов. С этой целью предположим, что функция V (х) положительна. Это не является необходимым, но мы тем самым можем избежать излишних подробностей.
Производящая функция моментов (порождающая моменты) дается формулой
t
J ехр (— и J F (х (T)) dx) (74)
о
Интеграл берется относительно меры Винера. Коль скоро мы определили меру, интегрирование также
137
определено. В исчислении вероятностей мы записываем (74) в виде
E { ехр (—и \ V(X(т)) Jt)}. (75)
Символ E означает математическое ожидание. Мы можем записать это также в виде
t °°
?|ехр(—и Jj V(x(x))dx)\ = ^ ехр (—шх) dacr(a,?). о о
(76)
Итак, вы видите, что производящая функция моментов является просто преобразованием Лапласа функции распределения.
Интересно, что вычисление этого функционала очень тесно связано (как связано, я скажу немного позднее) с решением дифференциального уравнения
Действительно, если мы знаем, как решить это уравнение при соответствующих условиях, то тогда мы знаем, как найти выражение (76). Я покажу вам это, применяя одно эвристическое рассуждение, так как строгое доказательство является нелегким. Мое первоначальное доказательство было очень длинным и в нем было несколько затруднительных мест. Но тогда у меня не было лучшего. Теперь существует несколько строгих доказательств. И это, я думаю, хорошо. Один из моих друзей любил говорить: «Когда существуют два независимых доказательства, тогда я верю, что теорема верна».
