Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
А , v f 0, когда t<* О, Д (*) = J ' д ^ ' (40)
w \ 1, когда *>0. v '
А именно, мы можем (39) записать так:
OO OO
^2 (*) = 2! 5 A(^ — T2) dx2 I A(T2 - T1) <f-2aTl dxx =
° =2!A*A*e~2ai. (41)
Теперь преобразование Лапласа мы получаем сразу же:
OO
S.-i^a.*_i.±._k. (42,
О
118
Общая формула имеет разный вид для четных и нечетных п. В качестве упражнения я предлагаю вам доказать, что
1 1
^p1--^+Г Для п нечетного,
~ (s + 2a)~^ 1 1
для п четного.
о
І+1 T-
•2 (s + 2a)2
(43)
Моменты входят сюда довольно сложным образом. Они являются оригиналами приведенных выражений. Это наводит нас на мысль о том, что вместо самой функции было бы лучше оперировать с ее преобразованием Лапласа. Итак, вычислим это преобразование:
OO
^ e~st F{x,t)dt = о
оо оо
$•«>•—(2 [АЛ* <44>
1
2ns v __
-"оо п=0"
Мы использовали здесь формулы (30) и (43). Приведенный выше ряд очень хорошо известен и его легко просуммировать. В итоге получаем очень простую формулу:
^ e~st F{x,t)dt = о
оо
-тН»Ю'-[«-АГ* <45)
— оо
Теперь легко видеть (по крайней мере, формально), что происходит. Преобразованием Лапласа телеграфного уравнения является
V - , _ Н_2^ р (а> о) = 0. (46)
Эта формула уравнения действительно часто применяется при решении телеграфного уравнения. Теперь
119
мы можем непосредственно проверить, что / (х, s) — преобразование Лапласа нашей функции F(x,t) — удовлетворяет уравнению (46). Достаточно подставить его в уравнение. Отсюда следует, что наша функция F(x,t) удовлетворяет телеграфному уравнению.
Это доказательство нельзя назвать красивым. Оно очень неизящно, хотя, может быть, не следует говорить об изяществе среди людей, которые, хотя бы частично, работают над приложениями. Отсутствие изящества здесь вызвано тем, что мы решаем уравнение обычной проверкой формулы. Было бы много лучше, если бы можно было увидеть это непосредственно. Я не хотел бы однако, чтобы вы приняли мое замечание всерьез. Больцман любил говорить, когда его работам ставилось в упрек отсутствие изящества, что изящество следует оставить сапожникам и портным. Может быть, это и верно. Однако я сказал бы, что приведенное выше доказательство с эстетической точки зрения является несколько неудовлетворительным.
То же самое доказательство остается верным и при большем числе измерений. Мы снова просто пишем преобразование Лапласа и проверяем формулу. Однако в связи с этим мы испытываем некоторое разочарование, поскольку узнаем относительно мало, но во всяком случае не узнаем ничего вызывающего беспокойство. Ситуация полностью изменится, когда мы перейдем к другим дифференциальным уравнениям, уравнениям параболического и эллиптического типа. Если мы исследуем их с точки зрения стохастических проблем, из которых эти уравнения возникли, мы получим много новых сведений.
Сначала, однако, я дам вам еще один пример, показывающий, что очень полезно посмотреть на один и тот же вопрос с разных точек зрения. Я рассмотрю одну классическую задачу: асимптотическое поведение собственных значений оператора Лапласа.
Асимптотическое поведение собственных значений оператора Лапласа
120
Мы имеем некоторую область Q с границей Г, например, на плоскости (рис. 5). Мы предполагаем и область, и границу достаточно гладкими, так что можно применять классический анализ. Рассматриваемую задачу можно представить в виде
± Au+ Xu = О в (47)
и = 0 на Г. (48)
Вы видите, что это задача колебания мембраны. Рассмотрим теперь собственные значения в порядке их возрастания: ^1, ^2, ^3, ...Обозначим через A (X) число собственных значений, которые меньше X. На плоскости, когда Х-+со, имеем
А(Ц~Ж\. (49)
Символ I Q I обозначает здесь площадь области Q. В трехмерном пространстве этот символ обозначает объем, и вместо X следует взять Х2/к Интересно, что константа зависит только от площади Рис. 5. области, но не зависит от ее формы.
В связи с этим расскажу вам одну необычайно интересную историю. Приведенную выше теорему (в трехмерном пространстве) в первый раз сформулировал великий Г. А. Лоренц в 1908 г. Это было во время конференции в Геттингене, посвященной новой теории квантов (которая тогда еще не стала квантовой механикой). В это время Дебай предложил новую теорию собственного тепла. Эта теория расширяла прежнюю теорию Эйнштейна и явилась одним из первых больших триумфов новой теории квантов. Опираясь на теорию Дебая, можно вывести некоторые свойства количества тепла. Так вот, кажется вполне естественным, что количество тепла должно быть пропорционально объему, и наверняка не может зависеть от формы. Этот результат физической теории равносилен формуле (49). С математической точки зрения это было, однако, только
121
допущением. Три года позднее, в 1911 г., оно было доказано ныне покойным Германом Вейлем. Своим доказательством он сделал необычайно интересный вклад в эту область математики. Связано это с тем, что он первый ввел известную вариационную характеристику собственных значений, так называемую характеристику минимакс. Этот метод был затем с успехом применен к различным задачам. Оригинальное доказательство Вейля было нетрудным, но не вполне «понятным». Хотя вы поймете отдельные шаги, вы все еще не будете знать, в чем же здесь суть дела.
