Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь я приведу вам другое доказательство, которое имеет то преимущество перед остальными, что его механизм действия хорошо понятен. Доказательство таково, что теорема начинает казаться несколько мелкой, метод же доказательства обладает некоторыми признаками глубины. Мы посмотрим на него с точки зрения вероятности и диффузии. То, что
я хочу вам предложить, не будет Связь с уравнением полным доказательством, посколь-диффузип ку в нем есть некоторые тонкие
места, которые следует обосновать. Это можно сделать и уже сделано.
Итак, посмотрим на нашу теорему с несколько иной точки зрения; думаю, что это будет наиболее верным путем. Забудем о том, что уравнение (47) возникло из задачи колебания мембраны или из чего-либо в этом роде, и будем рассматривать его как следствие уравнения диффузии
§=4А/,> (50)
где А — оператор Лапласа. Вы хорошо знаете, как к этому можно прийти. Мы, очевидно, потребуем, чтобы
P(x,y,t) = 0 на Г. (51)
Сделаем дополнительно следующее допущение: Р(х,у, t) — o(x — х0) &(у — IJ0), когда *—>0« (52)
122
Следовательно, если P (х, у, t) мы будем рассматривать как концентрацию некоторого диффундирующего вещества, то сначала все вещество будет сосредоточено в точке (х0, у0).
Если мы возьмем уравнение (50) вместе с начальным условием (52) и граничным условием (51), то тогда будет хорошо известно, как написать, по крайней мере формально, решение. Мы просто разделяем переменные и находим
P(X0, Уо I ^ у» *) = 2 е Kjt(fj ^ У) Ь (?» Уо)> (53)
j = i
Ф;- {X1 у) являются нормированными собственными функциями оператора ~ A; — собственные значения, те же самые, что и раньше. Это один из наиболее стандартных результатов классической математической физики.
Как теперь интерпретировать P (х0, у0 \ X1 г/, t)? Условие (51) означает, что Г есть поглощающий барьер: если частица нашего диффундирующего вещества коснется барьера, то она окажется поглощенной. Вполне естественно, следовательно, что концентрация P (х0, у0 I X1 у, t) должна стремиться к нулю, когда мы приближаемся к границе. Сначала вся масса находится в точке (xQl у о) у но с течением времени вещество диффундирует и подвергается абсорбции.
Принцип Допустим теперь, что t очень
неощущаемости мало. Поставим себя в положение границы диффундирующего вещества. Мы
для коротких окажемся среди других частиц,
времен^00 которые должны диффундировать,
и будем двигаться в течение очень короткого промежутка времени. На протяжении столь короткого промежутка времени мы не знаем, что происходит на границе, поскольку не имели возможности открыть, какое страшное несчастье там нас встретит. До нас еще не дошло известие о том, что мы будем съедены на границе области. Чем
123
меньше t, тем мы меньше знаем о нашей судьбе. Хорошим приближением для малых t должно быть, следовательно, то решение этого же уравнения диффузии, которое мы получаем, когда не обращаем внимания на границу. Принцип неощущаемости границы является, очевидно, интуитивно очень понятным. А это наводит на мысль, что для начальной стадии явления решением будет решение задачи о неограниченной диффузии
1 / (х — X0)2 + (У — i/n)2 \ /г/ч
_ ехр (- -І- Г ), (54)
которое хорошо известно.
Если мы считаем его хорошим приближением для малых t, то тогда это имеет место также при х — X0 и у = у0. В этом случае (54) принимает значение
2^. Используя (53), получаем, следовательно,
2 е-(?,2,)^^1-, когда *-0. (55)
3
Проинтегрируем теперь по области Q обе части этого асимптотического равенства. Пользуясь тем, что собственные функции нормированы (интеграл от ФІ (xi У) равняется 1), получаем
1е-ь^т (56)
3
Теперь мы почти уже у цели. Мы должны только знать кое-что из математики. Сумму мы можем выгодным для нас образом записать в виде интеграла Стилтьеса: оо
Ze-V = Ie-^dA(X). (57)
з о
Аналогичным образом мы можем Ht записать в виде интеграла, и из (56) получаем
OO OO
J е" м dA(%) ~ Ж J <Г м d%, (58)
о о
124
что справедливо для t, стремящихся к нулю. Мы знаем, что A (X) является неубывающей функцией. Чем больше X, тем больше значений ^ мы принимаем во внимание. Существует теорема, в силу которой из такого асимптотического равенства (для t -> 0) следует другое асимптотическое равенство (для X -> оо):
А(Х)~1?1х, когда Ь —go. (59)
Теорема эта известна как теорема тауберова типа Харди — Литтльвуда — Караматы. Она дает результат (59), что нам и требовалось. Приведенное доказательство имеет одно большое преимущество (собственно говоря, это еще не
„ есть вполне строгое доказатель-
Использование ч г
теоремы ство): оно апеллирует к интуиции.
тауберова типа Кроме того, его нельзя забыть.
Основной принцип — принцип не-ощущаемости границы в течение короткого промежутка времени — виден только тогда, когда мы смотрим на проблему с точки зрения уравнения диффузии. Если мы смотрим на эту проблему с точки зрения волнового уравнения, то тогда такой простой интерпретации нет. Приведенный выше принцип неощущаемости границы был неоднократно использован в подобных случаях. Здесь он может сказать нам нечто большее, а именно, что нам все равно, какое граничное условие мы наложим. Для каждого однородного граничного условия мы должны получить то же самое асимптотическое поведение. Это, очевидно, часть теоремы Вейля.
