Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
ViTPa = ^a VllP5. F-=H-Tb- Б-р= VVA*.
Aab = P« = «і* • (23.14)
Эти соотношения позволяют записать уравнения (20.35) в виде Dfb та т - ~ D ds
~aг-^ <"=» - d^ =0'v<" - -J^r ¦
(23.15)
Учтем, что
fS = Aae?(.,«(e) = (Ao(0)). joao j,
Z>?)p? = VMabhaaHv ьрї =
262. = p?
ЧоМ
+
go?
a
(23.16)
goo IOO
Подставляя выражения (23.16) в уравнения геодезической (23.15), приведем их к виду
Djfc т_ ds т0
а
0 у
gov
goo
A0(O)Pv +
+ —{Л 1(А°(о))2 = О,
т0 { О О
или окончательно т dX*- dx« d2x*
JTLq-у—;- — -
ds ^ ds ds2 dxfi dx°
+ mQ
X
ds ds
mQ
H.%}
і oao)
dx* N2
OC
ds
go? goo IOO
= 0.
(23.17)
X
(23.18)
Преобразуя аналогичным образом законы сохранения в /?-ковариантной форме и /?-ковариантные эйнштейновы уравнения тяготения, соответственно получаем:
т0 1 dE
E (д- In Vgoo) P» = (F-~ D--VV-) v« ,
ш
т E ds
(23.19)
о® = h«ava, va = dxa/dxW, E = p«»=ft0«»p% jfi ял ~Ё,
Kioedo-P •+ P + ТГ=- до goo + PD + D--^+ wP -V goo
— 2F-JS = 0, p = T(O)(O), p = pIg00t Ja — fa(o)t (23.20) uab = Tab,
a-D +Vp (A?--D?-)+2F?^-? = -xJ-, (23.21)
^a? + C^a? — A*?)
D
Vgoo
+ Ve ^a — Va ? = —И
Vo- (^a?-^a?) +
"a?--? ga? ("-P)
(23.22)
U ~ U
\ Rab — h-ahpbRab\ Rab = Rcacb-
Сказанного достаточно, чтобы присоединиться к следующему выводу [584, 585]: специальная формулировка Шмут-
263. цера эйнштейновой ОТО, достигшая при введении второй связности независимых связей и операций для пространственных и для временных величин, эквивалентна случаю тетрадной формулировки ОТО при специальных тетрадах (23.3) и специальной связности (23.10), введенных на основе локальной лоренцевой подгруппы пространственных вращений.
23.3. Расширение формулировки Шмутцера. Рассмотрим второй частный случай преобразований (20.48), а именно не-юлономные кинеметрические преобразования (20.62) и (20.63), и аналогично п. 23.2 построим соответствующий аппарат, включающий второй вариант специальной (второй) связности с кручением. Применив эти преобразования к тетрадам (20.61) и (20.62), найдем [585]:
ftr(o) =1 /ygoo
(°)=о~
Я-(о)
а
V = о
U-Ь — и ь , ria — па )
(23.23)
ha U = Bal (hXk)ll (0)=0 = а
'h° (O)=Zg00 h\ = 0
, Zis(O) = O h*a
Подставляя эти тетрады в соотношения (23.5), получим вместо (23.7)
goo
1
g'
00
= g°°,
«0а « g = goa
0,
(23.24)
~a?
g
.a?
1
OcttfO?
g'
00
gvag
Подставляя соотношения (23.23) в (23.6), получаем аналог (23.9):
(23.25)
( T000= T00 o+ 2ga0roa/g00 + Гор=Гор4-
+ ga0gp°rV(g00)2 +g^rVg00
V TaO= 0 r^?=o
I It0=O Го?=0
¦pa 1 HV — rp0 ~g«»rp0 (g°0)*x X Гру+T?0+g^0 T?V/g00 pa pa A?V— A?V — -^oroygoo
(23.26)
264. Таким образом, на основе кинеметрических преобразований приходим вместо кручения (23.13) к кручению со следующими компонентами:
сО рО 1 рО C« _оа ' л ga0
OOa= 1 [Oa]= — А Oa, O0?—^O? = — C?-— ,
2 2 g00
5?V = 0, Sly = 0. (23.27)
Аналогично соотношениям (23.14)—(23.22) легко переформулировать основные уравнения ОТО к связности (23.25). Они будут иметь формально тот же вид, но с заменой Vgoо на IJV gНапример, вместо (23.20) будем иметь
(!/KesMrP + pV?°d<r(Vg00)+pD + Da fi*+
+J« Га— 2FaT = 0, (23.28)
где индекс ;а означает ковариантную производную. Однако черта над индексами и над коренными буквами в формулах (23.20) и (23.2) имеет разное значение, поскольку для ее введения на базе хронометрических преобразований должны использоваться тетрады (23.4), а на базе кинеметрических преобразований— тетрады (23.23). После их явного введения обнаруживаются различия.
Таким образом, оба частных случая неголономных преобразований с ^-инвариантными коэффициентами—(23.1) и (23.23) — обеспечивают введение специальных компонент тензоров, частных и ковариантных производных, которые позволяют оперировать раздельно с пространственными и с временными компонентами.
Подчеркнем еще раз, что кручение относится к переопределенной связности. По символам Кристоффеля геометрия, конечно, остается римановой.
§ 24. СОПОСТАВЛЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ДЕФЕКТОВ ДРУГ С ДРУГОМ И С ДОБАВОЧНЫМИ АНОМАЛИЯМИ
24.1. Возможные корреляции. В данном параграфе, заключающем анализ специальных формулировок ОТО, иллюстрируем на частных примерах три важнейших их понятия — физических времени, расстояния и десинхронизации по координатному времени — в зависимости от параметров гравити-рующих и пробных, а также от негеодезичности движения. Тем самым продолжим начатое в § 4 и 8 рассмотрение пространственно-временных дефектов, названных во введении к главе V «кинематическими дефектами». Эти дефекты являются релятивистскими эффектами ОТО в смысле релятивизма
265. одновременности, специфического по сравнению со СТО, проявляющегося через указанные параметры. Данный параметр, гравитирующий или пробный, может по-разному воздействовать на образование того или другого из трех кинематических дефектов. Поэтому представляет интерес сравнение этих трех дефектов друг с другом, для чего их следует перевести из традиционной для них меры в некоторую одну, общую. Ниже в качестве общей избирается угловая мера. Тогда дефекты выступают как элементы добавочной аномалии.
