Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
V Д = A/V(o)Qc = AiXfl (d(o)Qa - Y*a<0) Qb). (22.38) Поскольку Vflba = — A8bVaAe0, аналогично находим
VAi=VA0 (O)Va(AecQc) = AiXe /Ia(O) Va Q*=vA. (22.39)
Сворачивая выражение (22.15) с Я** a Ziv ь> а выражение (22.16) с Zi^a, находим соответственно
VaQb = VAxeVxQli,
(22.40)
0 0
V(O)Qa = A^aV/QiX-
Следовательно,
VaQfl = (? - Ац<°> А\о>) VxQia = WQia • (22.41)
Таким образом, простые преобразования формы R-тензоров и /?-ковариантных производных с помощью элементов тетрадного аппарата ОТО и отбрасывания лоренцева индекса (0) придают им «ортометрический вид», который в работе [625] определен независимо с помощью условия ортометричности.
22-4. Выделение ортометрической части jR-инвариантных
частных производных от /^-тензоров. Применим производную
* *
дц = Vde к /^-инвариантному вектору Ax = Iix1Aa ^ HxaAa IikaAa: дц = V ^Aa + AaSixIixa = k^h^hPjS pia+
+ A0VAWx0 = V V^a + KKp - (22-42)
Очевидно, что hi\n)dnA}. = т](0)ь Iial' даАх = 0, тогда как
/i\o AA = h\о) IixaIiaa V арЛа + А\0) (dpV) AaV =
- TI(O)0Aoe V dp X + (Л\о) <3p/iO Hv # 0. (22.43)
253Следовательно, только усеченная часть выражения д^Лл,—
результата применения /^-инвариантной производной к /?-инва-
*
риантному вектору, а именно KGhJdpAGi является величиной ор-тометрической. В целом же, как видно из (22.43), сверток
h\0ДЖ не приводится к виду, содержащему множитель г)(0)а. В качестве еще одного примера рассмотрим выражение
=OM/lvx = 3M(/lve/leT/lxT), где усеченный метрический тензор
3-пространства *glXv ортометричен, так как h\0)h^= r\(0)ah^a=0. Аналогично (22.43) находим
Ь Jiyyl = КеКтККх+КхК (№) =
= W^Ax + К v<W + h&bjL* =
= WVopftex + KAKx + h JnKe - (22.44)
Легко видеть, что первый член справа в (22.44) ортометричен благодаря входящим в него Ziv8 и AjJc:
Av(o) КгКтККх = 4o)ah<mh>?dJizx = 0,
(22.45)
ft\o )K*KXdJlzX = Т](о )аКгККх = 0,
тогда как два последних члена в уравнении (22.44) не являются ортометричными соответственно по индексам Я и v. Действительно, например,
h\o)KAKx = 4(0)aKAh™ + Л°^\о)МАа ф 0- (22.46) В частности, применительно к скаляру
^Q=O11Q9 StQ = dtQ. (22.47)
Нетрудно прийти к общему выводу, что в случае /?-инвари-
*
антного (по всем индексам) тензора QM...любого ранга R-инвариантную от него производную можно представить в виде
= V •. • ftvT •. • W dpQe.. т" + iV..v- , (22.48)
*
где через обозначена та часть производной от Q^...
которая в свертке с А%)... Av(0)... не приводится к виду, содержащему г](о)а. Для первого члена (22.47) в обозначениях работы [625] имеем
254.(22.49)
В частности, в этих обозначениях соотношения (22.42) и (22.44) принимают соответственно вид:
SA = Ух + ДДлл
= AAx + КЛКХ + W. (22.50)
Таким образом, частная ортометрическая производная от /^-величины — ортометрическая часть от частной ^-инвариантной ее производной. Следовательно, /^-инвариантные и орто-метрические частные производные не совпадают и могут быть связаны друг с другом или мультипликативно, как в уравнений (22.49), или аддитивно, как в уравнении (22.50). Изложенное показывает, что следует различать два вида координатных индексов, связанных с индексами, локальными соответственно полной перелицовке (анаметрические индексы) и частичной перелицовке (ортометрические индексы). Поскольку в работе [625] сведения о локальных индексах не учитываются, для внесения этого различия потребовались специальная терминология и разделение величин на ана- и ортометрические.
22.5. Преобразование /?-ковариантной формы основных уравнений ОТО в ортометрическую. Согласно выражениям (22.23), (22.24), (22.41) и соотношениям типа (22.9), имеем
DabUab = = DixvUixv >
(22.51)
FaJa = WJtfFjb = .
Из (22.40) соответственно следует:
V(o) Ja = KaVvf** Wbc = VvJ^ - (22.52)
Аналогично уравнению (22.51), пользуясь соотношениями (22.19) и (22.24), находим
AabJa = HyjitkbAfhkaJb = KbAfJbi
(22.53)
FaUab= HllbFkU^, Jb = HixbJ* .
Подставляя эти соотношения в уравнения (20.36), приходим к ортометрической форме закона сохранения ОТО, найденной A. Jl. Зельмановым [625]:
оо оо оо 0(0) p + pD+ DixvU^ + vlijn - 2FkJb =Oi
255.Ol) O OO O OO OO О
Ka tv^ + (a^ + ад J% + DJv + VxU^-(22.54) В силу произвольности /їд°
00 О 00 0 ООО о
VtJv + (Af + Df) Jb + DJV + (Vx - Fk) UkV — р Fv = 0, (22.55) если учесть равенства (22.47) и
о о оооо
dtJv + (Df + Af) Jb = VtJ» . (22.56)
Следовательно, ортометрическую форму законов сохранения можно получить из Я-ковариантной формы (20.36) переходом к криволинейной системе координат и заменой * — индекса ^-ковариантности на 0 — индекс ортометричности.
Перелицуем последнее из системы (20.37) эйнштейновых уравнений тяготения в Я-ковариантной форме. Воспользовавшись соотношениями (22.47) и (22.50), получим
0 00 0000 00 у,
dtD + ^11FV - FllFv + dvW»v - A^ Allv = --(р + и). (22.57)
Перелицовка второго из уравнений (20.37) с учетом произвольности H1J1 приводит к его ортометрической форме