Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваницкая О.С. -> "Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения" -> 95

Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.

Иваницкая О.С. Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения — Наука и техника, 1979. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): lorencbazisigrav1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 126 >> Следующая


V Д = A/V(o)Qc = AiXfl (d(o)Qa - Y*a<0) Qb). (22.38) Поскольку Vflba = — A8bVaAe0, аналогично находим

VAi=VA0 (O)Va(AecQc) = AiXe /Ia(O) Va Q*=vA. (22.39)

Сворачивая выражение (22.15) с Я** a Ziv ь> а выражение (22.16) с Zi^a, находим соответственно

VaQb = VAxeVxQli,

(22.40)

0 0

V(O)Qa = A^aV/QiX-

Следовательно,

VaQfl = (? - Ац<°> А\о>) VxQia = WQia • (22.41)

Таким образом, простые преобразования формы R-тензоров и /?-ковариантных производных с помощью элементов тетрадного аппарата ОТО и отбрасывания лоренцева индекса (0) придают им «ортометрический вид», который в работе [625] определен независимо с помощью условия ортометричности.

22-4. Выделение ортометрической части jR-инвариантных

частных производных от /^-тензоров. Применим производную

* *

дц = Vde к /^-инвариантному вектору Ax = Iix1Aa ^ HxaAa IikaAa: дц = V ^Aa + AaSixIixa = k^h^hPjS pia+

+ A0VAWx0 = V V^a + KKp - (22-42)

Очевидно, что hi\n)dnA}. = т](0)ь Iial' даАх = 0, тогда как

/i\o AA = h\о) IixaIiaa V арЛа + А\0) (dpV) AaV =

- TI(O)0Aoe V dp X + (Л\о) <3p/iO Hv # 0. (22.43)

253 Следовательно, только усеченная часть выражения д^Лл,—

результата применения /^-инвариантной производной к /?-инва-

*

риантному вектору, а именно KGhJdpAGi является величиной ор-тометрической. В целом же, как видно из (22.43), сверток

h\0ДЖ не приводится к виду, содержащему множитель г)(0)а. В качестве еще одного примера рассмотрим выражение

=OM/lvx = 3M(/lve/leT/lxT), где усеченный метрический тензор

3-пространства *glXv ортометричен, так как h\0)h^= r\(0)ah^a=0. Аналогично (22.43) находим

Ь Jiyyl = КеКтККх+КхК (№) =

= W^Ax + К v<W + h&bjL* =

= WVopftex + KAKx + h JnKe - (22.44)

Легко видеть, что первый член справа в (22.44) ортометричен благодаря входящим в него Ziv8 и AjJc:

Av(o) КгКтККх = 4o)ah<mh>?dJizx = 0,

(22.45)

ft\o )K*KXdJlzX = Т](о )аКгККх = 0,

тогда как два последних члена в уравнении (22.44) не являются ортометричными соответственно по индексам Я и v. Действительно, например,

h\o)KAKx = 4(0)aKAh™ + Л°^\о)МАа ф 0- (22.46) В частности, применительно к скаляру

^Q=O11Q9 StQ = dtQ. (22.47)

Нетрудно прийти к общему выводу, что в случае /?-инвари-

*

антного (по всем индексам) тензора QM...любого ранга R-инвариантную от него производную можно представить в виде

= V •. • ftvT •. • W dpQe.. т" + iV..v- , (22.48)

*

где через обозначена та часть производной от Q^...

которая в свертке с А%)... Av(0)... не приводится к виду, содержащему г](о)а. Для первого члена (22.47) в обозначениях работы [625] имеем

254. (22.49)

В частности, в этих обозначениях соотношения (22.42) и (22.44) принимают соответственно вид:

SA = Ух + ДДлл

= AAx + КЛКХ + W. (22.50)

Таким образом, частная ортометрическая производная от /^-величины — ортометрическая часть от частной ^-инвариантной ее производной. Следовательно, /^-инвариантные и орто-метрические частные производные не совпадают и могут быть связаны друг с другом или мультипликативно, как в уравнений (22.49), или аддитивно, как в уравнении (22.50). Изложенное показывает, что следует различать два вида координатных индексов, связанных с индексами, локальными соответственно полной перелицовке (анаметрические индексы) и частичной перелицовке (ортометрические индексы). Поскольку в работе [625] сведения о локальных индексах не учитываются, для внесения этого различия потребовались специальная терминология и разделение величин на ана- и ортометрические.

22.5. Преобразование /?-ковариантной формы основных уравнений ОТО в ортометрическую. Согласно выражениям (22.23), (22.24), (22.41) и соотношениям типа (22.9), имеем

DabUab = = DixvUixv >

(22.51)

FaJa = WJtfFjb = .

Из (22.40) соответственно следует:

V(o) Ja = KaVvf** Wbc = VvJ^ - (22.52)

Аналогично уравнению (22.51), пользуясь соотношениями (22.19) и (22.24), находим

AabJa = HyjitkbAfhkaJb = KbAfJbi

(22.53)

FaUab= HllbFkU^, Jb = HixbJ* .

Подставляя эти соотношения в уравнения (20.36), приходим к ортометрической форме закона сохранения ОТО, найденной A. Jl. Зельмановым [625]:

оо оо оо 0(0) p + pD+ DixvU^ + vlijn - 2FkJb =Oi

255. Ol) O OO O OO OO О

Ka tv^ + (a^ + ад J% + DJv + VxU^-(22.54) В силу произвольности /їд°

00 О 00 0 ООО о

VtJv + (Af + Df) Jb + DJV + (Vx - Fk) UkV — р Fv = 0, (22.55) если учесть равенства (22.47) и

о о оооо

dtJv + (Df + Af) Jb = VtJ» . (22.56)

Следовательно, ортометрическую форму законов сохранения можно получить из Я-ковариантной формы (20.36) переходом к криволинейной системе координат и заменой * — индекса ^-ковариантности на 0 — индекс ортометричности.

Перелицуем последнее из системы (20.37) эйнштейновых уравнений тяготения в Я-ковариантной форме. Воспользовавшись соотношениями (22.47) и (22.50), получим

0 00 0000 00 у,

dtD + ^11FV - FllFv + dvW»v - A^ Allv = --(р + и). (22.57)

Перелицовка второго из уравнений (20.37) с учетом произвольности H1J1 приводит к его ортометрической форме
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed