Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Данная, последняя, глава монографии посвящена индексной записи параметризации лоренцевых преобразований, предложенной Ф. И. Федоровым [630—633] в матричной форме и всесторонне разработанной им с его учениками (см. § 25). Будучи весьма рациональной с точки зрения аппарата и приложений, эта параметризация интересна и с принципиальной стороны. В ней существенным образом используется разложение матриц на само- и антидуальные матрицы. Это разложение явилось одним из важнейших опорных пунктов, открывших путь к ряду преобразований группы Лоренца [633, 648]. Разумеется, указанное разложение в равной мере должно быть применимо и к локальным преобразованиям. Таким образом, представляется желательным включение в тетрадную формулировку ОТО уже хорошо развитой параметризации Ф. И. Федорова. Исследуя классификацию полей тяготения, он отметил [634], что само- и антидуальность — особый и существенный вид симметрии, и показал, что разложение матриц на само- и антидуальные составляющие приводит наиболее общим, естественным и прямым путем к соотношениям, на которых базируется классификация полей тяготения, и позволяет прояснить ее смысл (см. также статью [635]). Это — дополнительный стимул к перенесению параметризации Ф. И. Федорова в ОТО. Матричная форма этой параметризации, являясь большим преимуществом, особенно в приложениях СТО, на первых порах, однако, затрудняет ее использование в ОТО. Можно преодолеть это затруднение предварительным переходом к ее индексной записи.
Как отмечено в монографии [536, с. 68], тензорное и матричное исчисления в принципе не эквивалентны. В тензорном исчислении с самого начала задана группа и трансформационные свойства относительно нее рассматриваемых величин (ранг геометрических объектов, в частности, тензоров, и их закон преобразования). В матричном же исчислении первоначально не задана никакая группа. Матрица является более общим понятием и ее элементы не обязательно рассматривать как компоненты тензоров или более сложных геометрических объектов. В работе [536] говорится, что матричное исчисление является идеальным методом во всех случаях, когда приходится иметь дело с величинами валентности 2, положительно определенным метрическим тензором и декартовыми системами координат, в которых нет различия между ко- и контрава-
283. риантными величинами. В других случаях прямой матричный метод может оказаться менее удобным, менее автоматичным, чем индексный. Взаимоотношения между матричной и тензорной записями обсуждаются во многих монографиях, в частности, полезные сведения приведены в работе [580].
Поскольку в тетрадном представлении ОТО индексная запись усилена введением, кроме общековариантных индексов, также и лоренцевых индексов, естественно, что для будущего использования в ОТО параметризации Ф. И. Федорова желателен предварительный перевод ее в тензорную форму. Этот перевод завершен в работах [511, 636]. В данной главе приводится содержание этих работ с небольшими изменениями.
§ 25. ГРУППА ЛОРЕНЦА С КОМПЛЕКСНЫМИ ВЕКТОР-ПАРАМЕТРАМИ (МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ)
25.1. Обзор основных соотношений и применений для групп SO(3.1) и SO(4.C). Согласно параметризации, предложенной
Ф. И. Федоровым [630—633], всякая матрица LGSO (3.1) вы-
*
ражается через самодуальную и антидуальную матрицы q~ и q+:
L = а+ (q) а_ (q*), a±(q) = • (25.1)
В свою очередь матрицы q+ и q- определяются через трехмерный комплексный вектор-параметр q = a + /b, объединяющий шесть параметров группы SO (3.1) следующим образом*);
Я* = (-?^*-). ^ =-Bebefl*, (25.2)
V H-q I О У
звездочка означает комплексное сопряжение, а и b — действительные Трехмерные векторы. Используется метрика Цкп = = diag (1, 1, 1, 1) пространства—времени Минковского с мнимой координатой.
Самое главное в методе Ф. И. Федорова — это установление и последовательное применение характерного для данной параметризации закона композиции вектор-параметров, который в случае
L(q") = L(q)L(q') (25.3)
имеет вид
q'=<q,q'>- + ^^ • і —qq
*) Введение комплексного вектора предполагает произвольное (3+ ^-расщепление 4-пространства ОТО.
284. Предельная простота этого закона позволяет решать многие вопросы теории группы Лоренца, не обращаясь к использованию самих матриц преобразований и их представлений, оперируя только с вектор-параметрами группы. Таким образом, например, был установлен физический смысл вектор-параметров и получены ограничения, накладываемые на область их изменения [630—633], которые имеют простой вид
1 + ( ¦—4—, q } 2 = 1 —V2 Ф 0 (25.5)
и очевидный физический смысл (здесь учтено, что ( ¦—q*f q > = іУу где у — скорость относительного движения).
Отыскание вектор-параметра q = а + ЛЬ, отвечающего произвольной 4х4-матрице L 6 SO (3.1), удовлетворяющей условиям
LL = LL = /, \L\ = det L= + 1, (25.6)
I — единичная матрица, осуществляется с помощью соотношения
+ 0 = аХ \+Л) (25.7)
2 ; Lc V —^b I 0 / * V ;
Здесь L — транспонированная по отношению к L матрица, \L\ = = det L ¦— детерминант, Lc — след (сумма диагональных элементов) матрицы L.
