Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ve (fti" D) — Vb + Avb) + 2FkAvb = . (22.58
Аналогично, но более громоздко производится перевод в ортометрическую форму первого из уравнений (20.37). При этом следует учесть, что между MixvXo и Hixvk0i используемым в работе [625], имеет место связь (см. (21.79))
Rv*o = - Hllvko - 2Ako (Z)vlk + Avix), (22.59)
Rixv = DAixv + 2AB[ll + 2V Avz — Cixv, (22.60)
где Cixv — ортометрический аналог тензора Риччи [625].
Перевод уравнений движения (20.29) в ортометрическую форму требует разбиения на части трехмерных компонент уаъс коэффициентов вращения Риччи:
Yflbc = hka hvb h\ Tbixv + V dch% = = V h\ /і8 c hf hvx h\ Tbv - h% h\dvh0a =
= V h\h\ Apte - h% h\ dvh0°, (22.61)
о
где коэффициент A^te = hf hvx Ziv8 I^v ортометричен. Очевидно, 256 dxW dxW
O
Xdv= xa- = -, Xх = Vх = i>\
d \ \ 4 a d
- 71** --- = -
dxfl dx«» Лс<°> Л
Учет всех этих соотношений приводит (20.29) сначала к виду
dx*
"dx«»
+ A^v і* xv —fr + 2** (btf +Axli) = 0, (22.62)
а после переобозначений — к уравнениям движения в орто-метрической форме [625].
В работе [560] обсуждены также связь между Я-ковари-антной и ортометрической формами уравнений Максвелла в ОТО, а также вопрос о преобразовании ортометрических величин посредством локальных преобразований Лоренца, меняющих поле хроно-монады.
Таким образом, оригинальным и специфическим элементом ортометрической формулировки ОТО по сравнению с R-кова-риантной является введение частной ортометрической производной. Оно ставит ее в зависимость от характера величин, к которым эта производная применяется, и приводит к переопределению связности (по сравнению с коэффициентами вращения Риччи). Этим достигается как общая ковариантность, так и некоторое сходство с построениями формулировок ОТО X. и. и к. и. В силу общей ковариантности выделение подгрупп координатных преобразований прекращается. Приведенное в данном параграфе сопоставление обнаруживает, однако, неявную связь ортометрической формулировки с і?-подгруппой и этим указывает место ортометрической формулировки в ряду других специальных формулировок ОТО. Наконец, заметим, что ортометрические величины, как и «наблюдаемые» в х. и. и к. и. формулировках, не являются естественно измеряемыми в смысле Эйнштейна.
§ 23. СОПОСТАВЛЕНИЕ Я-КОВАРИАНТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОТО С ФОРМУЛИРОВКОЙ ШМУТЦЕРА
23.1. Характерные требования формулировки Шмутцера.
В работах [626—628] предлагается специальная формулировка ОТО, в которой «пространство—время ... разложено на физическое пространство и физическое время таким образом, чтобы новые пространственные и временные величины ... в отношении своих трансформационных свойств вели себя (в рамках данной системы отсчета) независимо, т. е. чтобы при пре-
Yl Зак. 3
257 образованиях пространственные величины выражались через свои компоненты, а временные через свои, соответственно имеющимся у них индексам» [627, с. 236]. Наиболее оригинальным пунктом формулировки Шмутцера является распространение такого требования на ковариантные производные: «В проективной ковариантной производной пространственных (временных) компонент должны фигурировать лишь пространственные (временные) же компоненты» [627, с. 238]. Это достигается переходом от голономного базиса е^ к неголономно-му е^ посредством преобразований *> (см. (20.58)):
4-у - (aQ0 - 1 I У - Q
IA
^cc ° = 8ао/§оо 1 V = Oa? Saofgoo
A^ :10
(23.1)
б*«5
и введением специальной связности 1 = Г* „ = ГL, для ко-
I \iv J ^v
торой постулированы условия
T0aix = 0, TfSil = О, (23.2)
тогда как остальные коэффициенты отличны от нуля и могут быть выражены через символы Кристоффеля. Преобразования
(23.1) по форме сходны с подгруппой хронометрических преобразований х°' = X0' (ях), X?' = я06' (x?), сохраняющих систему отсчета, которые обычно предполагаются голономными. В отличие от них преобразование (23.1) неголономно.
Таким образом, Шмутцером одновременно вводится «две геометрии»— основная на базе е^ со связностью T^v (символы Кристоффеля) и специальная — на базе е- со связностью T^v- Введение «второй геометрии» со специальной связностью ГJtv (в силу
(23.2) не симметричной по нижним индексам) естественно не нарушает римановости основной геометрии расщепляемого 4-пространства ОТО. Соотношения между ( ^ ] и символами Кристоф-
I^vJ
феля, согласно работам [626 — 628], имеют следующий вид:
Jo~l =Ioc 1_ І2І-І а 1_ gov j а 1+ -iuL ( 06 )
I?vJ UyJ Soo I OVI Soo І 0? / (g0o)2 1 00 J
*) Примем в этом параграфе иные, чем в работах [626—628], обозначения. Черта над индексом выражает неголономность. Если величина содержит более одного индекса с чертой, будем, упрощая обозначения, снимать черточки над индексами, заменяя их чертой над коренной буквой.
258. Io і—L_n її m=o
I OpJ g„o Llop, Oj g00 loo, OjJ ' I POj ' { ?o} = { ?O} ~^г{оо)' { op}= 0
{ Oo}= { 00, о}' {oo}-0, {a?
(23.3)
0 i=0.
He будем выписывать другие соотношения аппарата формулировки Шмутцера. Они подробно рассмотрены им [628]. Найдем путь к этой формулировке, оставаясь в рамках тетрадного представления ОТО и производя в нем соответствующие перегруппировки и переопределения, как это сделано в работах [584, 585].
