Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
249. ференциальные операторы непосредственно этому условию, вообще говоря, не подчинены, но вводятся такими, чтобы результаты их применения к ортометрическим величинам были также величинами ортометрическими. Сохраняя обозначения, принятые в работе [625] для монады — Ь^ и индекса ортомет-ричности — ноль над коренной буквой, продемонстрируем введенные определения следующими соотношениями:
Ql\:\ = K«h\ ... QS:::, (22.13)
где
Kv = guv = g\xv + V>v, = — 1,
.. = V ... Ах® дАо..., (22.14)
VAv...=Kt К° - - - Ах® VcoQea..., (22.15)
3° QV . AeV (ft* VaQ8 - Qx V^8 )> (22.16)
ViQn = V b° VaQs- (22.17)
Перейдем к сопоставлению соотношений (22.1) — (22.8) с (22.13)-(22.17), произведенному в работе [560].
22.2. Приведение R-тензоров к виду, содержащему усеченный метрический тензор и (или) хроно-монаду. Перелицуем в соотношении (22.1) локальные компоненты Qab в мировые. Тогда
QmV - h\ KbQK h°b V = hjQ\ = Q4 , (22.18) где A^v = g^v, Aji(O) = 6ц. Легко находим обратные соотношения
Qab = ^a ^Av, Qa = ^A- (22.19)
Как видно из п. 20.1, ^-величины, кроме общековариантных и пространственных лоренцевых, могут содержать и временные лоренцевы индексы, не участвующие в преобразованиях ^-подгруппы. Среди них особый интерес представляют те компоненты коэффициентов вращения Риччи, которые содержат индексы (0). Относительно ^-подгруппы их трансформационные свойства упрощены: они R-тензоры (см. (15.26)). Приведем их к искомому виду. Введем криволинейные усеченные компоненты:
V(O)H(O) — Kb 7(о)ь(о), Y(O)HV — KaKb 7(0)аЬ- (22.20) Они удовлетворяют условию ортометричности. Так,
^(0)7(0)11(0) = - 4(0)Wo> = 0. (22.21)
250. Ограничив рассмотрение задачами, не требующими преобразования хроно-монады е(о), можем (пока это ограничение не снято) отбросить у коэффициентов вращения Риччи и их усеченных криволинейных компонент индексы (0) (относительно которых эти коэффициенты не являются тензорами). Тогда
Fa = Y(o)a(o)> Fix = KbFb = V h\o) Arr(O) VcAb =
= — V Kb Ac7(O) Va h\o) = — Kx Aa(O) Va K(O) =
= — (V + A^1(O) A\o)) Aa(O) VaAx(O) =
= - Aa(O) Va AiX(O) = 0а Va^ =FiX. (22.22)
Легко видеть, что Dixv и Л^ могут быть приведены к виду, содержащему т](о)а, т. е. что они ортометричны. Действительно,
Dab = — Y(OXab)'' 4v = Ka Kb Dab = = -K(aKb)h\o)V0Ka-h°b =
= Kia Kb) Ka Aab Va А\о) = A^ V V(a ^) = Axv, (22.23)
Ал = V(0)[ab3; Axv = Ka KbKb = А*. (22.24)
Ортометричность имеет место по каждому из индексов. Например,
Z1^(O) Dixv = Ti(O)flV^ab = о, ZiV(O) /Jllv= Уп(0)* Dab-O, (22.25) В работе [625] вводятся величины
d\xv = V(A)' = VtA] = o[n&v]. (22.26)
Коль скоро ^E=Zipl(O), то, очевидно, что это симметрированные и антисимметрированные полные (не усеченные) компоненты коэффициентов вращения Риччи вида Y(o)nv. Соотношение
(4xv + Ciixv) № = 7(o)nv А^о) = Y(o)(o)v = 0 (22.27)
является следствием антисимметрии коэффициентов вращения Риччи по двум индексам (не свертываемым с dxv при параллельном перенесении). Учет этой антисимметрии, в частности, приводит к соотношениям
Fv = - ^ (^v + a»v) = - /1%) = Y(O)V(O), (22.28)
2^ Y(0)0xv) = - 2 6^(o)[|lv] = _ Y(0)v(0), (22.29)
т. е. из них и формул (22.22) следует
Fv = -2/i%) ^v =-2/i%)^v-Fv=Fv=VY(o)ft(o). (22.30)
251 Следующие свертки, введенные [625] по подобию формулировок X. и. и к. и.,
Aw = Yh^ Yva dto, Ailv = у J yS ahG (22.31)
выделяют из полных, четырехмерных коэффициентов вращения Риччи их /^-ковариантные части:
AiV = VAXaVAabV(o)(Xa) = VftVftV(OXab) = Y(O)(Hv)',
^HV=Y(O)CHV]. (22.32)
Приведем еще несколько примеров совпадения ортометриче-ских и соответственно ^-скалярных, /^-инвариантных, ^-векторных выражений, входящих в общую часть работ [583, 625]:
ds = — ЪфР = — h\i(o)dx^ = V0) dx» = dx<°),
(22.33)
о
dxм- = A^dxa = d*^ _ am.(0) ds = dx», du2 E= h^dxMx* = r)abdxadA;& = h^dx^db = ^dx^dx* ;
^h = V^a = І, (22.34)
о *
0A, _ dxk _ _ dx% _ A\dxA h\0)dx__
ds dx«» dx<°> ds ds
= ^L_Ax (22.35)
ds
Аналогично, в частности, приходим к совпадению ^инвариантных и ортометрических дискриминантного метрического тензора и элемента объема 3-пространства:
ejxvX = V ftVp Axt 6xapT = AjxflAv0Axc б(0)аЬс,
dV = e^dS«^ = SllJdx^dxv № = o(0)ubc . (22.36)
1 2 З
Таким образом, алгебраические разделы работ [625] и [583], по существу, являются общими. Различие лишь в том, что в статье [625] отсутствует информация о локальных индексах, в которой нет надобности, если рассмотрение ограничено одним (произвольно фиксированным) полем монады
Ajx(O)S=^m,.
22.3. Приведение Я-ковариантных производных к виду, содержащему Ajx^ и (ил«) Ajx(o). Подставляя выражение (22.4)
252. в уравнение (22.3), учитывая (15.20) и что Qa—скаляр относительно координатных преобразований и производя замену ^na = W, в случае производной от вектора находим
V А = Ka Kb VbQa = V (doQa - У* M =
= ItfdaQc + V QcVa^ec = V Va Qe = VxQiX. (22.37)
Рассмотрим временную Я-ковариантную производную от вектора
