Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
23.2. Переход к формулировке Шмутцера от Я-ковариант-ного представления ОТО. Из (20.58), (20.59) видно, что преобразования (23.1) принадлежат множеству преобразований с ^-инвариантными коэффициентами. Применив (23.1) к тетрадам (20.56) и (20.57), получим
V.V(V)ftв 0 = ( Vw-V^ Iv-Q
\х H^v 7Zioa =0 \ и (п} _л I Uh-Ur
_ <23-4>
Sh0l^ = Wsaa h°„ = 0
h\ = A\(h\)ka=0 =
h-(0) ^ OL = 0 I h-" = ha»)
hP( о. = Wg^ h\ = 0
А«( о) = 0 h«b = h\
С помощью этих тетрад введем специальные компоненты тензоров, а также специальную частную производную, отправляясь от их лоренцевых компонент:
(23.5)
д-= h-п д д = Им д-
и\л — п\х ип> ип — п п Vll •
Введем аналогичным образом специальную ковариантную производную, но отправляясь от #-ковариантной производной (20.17), (20.18) по лоренцевым индексам. Введем по определению специальную связность = так, чтобы * >
jh v
WТ* = ^ 7* + HiXTkfcfcvП(23.6)
*) в обозначениях Шмутцера d-9=6L(A, y-Tv =^Tv=TД. 17*
259. При принятых h-k в равной мере можно исходить и из раздельно введенных соотношений
ViT A-(O) h\0) V(0) ГО), VU T- = H-« h\ VaP.
Подставляя компоненты (23.4) в (23.5), легко убедиться, что специальные компоненты тензоров в этом случае совпадают со введенными Шмутцером, например,
8о о = ^OO = Aoft Aon Tlftn = ?00, ^oo = ^OO1 ^0ot = gOa = о,
(23.7)
Sa ? = ga? = ga? — gaog?o/goo, = ga? •
Отметим также следующие соотношения, имеющие место в рассматриваемом случае:
Т° = Т° = H°h Th=H0w Г(°), Л»)=W(0),' Ty = A0(O) Tw,
Tw = TrIhJ.0), а0-=Zi0(O) 0(0), а(0) = а°(о)%, f* = WaTa,
(23.8)
Ta = H-aT-, Ц =HfTa, тъ = н*ьт-,
da=ha"da, да=Н«ад~.
Такого рода надчеркнутые величины названы в работе [626, § 2] «физическими компонентами». В курсе [25, с. 253] сделано предостерегающее примечание, что их не следует путать со «стандартными 4-тензорами» в смысле Мёллера (см. п. 21.4).
Соотношения (23.5), (23.6) с помощью тетрад (23.4) обеспечивают раздельную перелицовку хоро- и хроно-величин. Действительно, они приводят к таким специальным мировым компонентам тензоров и частной производной, что временные специальные компоненты выражаются только через временные локальные компоненты, а специальные пространственные — только через локальные пространственные. В качестве коэффициентов разложения выступают полностью временные или полностью пространственные компоненты исходных тетрад.
Используя соотношения (23.8) и подставляя компоненты (23.4) в уравнения (23.6), находим
1 00 = A0(O) dg- A0(O) 1 Oa = А»(о) д- A0(O)
V0 А аО = 0 f0 la? = 0
(23.9)
260. Га _
m-v —
Гоо = 0 TZfi = O
Fpo=ZiaaVV0Yb(o) + f?v = ^VVtV +
+ h\d^ V + h%d-h?»
Используя закон преобразования
Уктп = Kk h»m h\ T^y + hok дп h*m
и переходя, согласно соотношениям (23.8), от <3- к д^, приведем коэффициенты (23.9) к виду
Ги -
1M-V —
Гоо = 1 г п Г° — I Oa- 1 (Y gaO у \
1 0,00 goo goo 1 0,a0 1 0,00 V goo J
ГаО = 0 р0 A a? = 0
Га _
m-v —
Г?п = 0
Га
?O :
Га
?O —
g?o goo
Га
0(
00
г^ = о
(23.10)
ра _ра
?v ?v '
g?o ра 'TT= 1Oy-V go
$00
7=- T?o H---—g&ogyoToo
Vgi
goo
При такой связности, очевидно,
Vr^r
= fox
дгТ*+Т°оьТ°; T0ax = O,
0,
(23.11)
т. е. достигается разделение временных и пространственных компонент. Равенства нулю компонент 1 MV» входящих в уравнения (23.11), в отличие от работ [626—628] не постулируются отдельно, а являются следствиями принятого общего определения (23.6) при специальных тетрадах (23.4).
Вторую, переопределенную связность можно ввести не только перелицовкой (23.6) Я-ковариантной производной, но и непосредственно перелицовкой коэффициентов вращения Риччи, однако при добавочном условии, что к перелицовке допускаются только не ^-тензорные их компоненты:
(23.12)
Поскольку в суммировании ^-тензорные компоненты, т. е. Y(0)a(o)> v(0)ab, не участвуют, из уравнений (23.12) и (23.4) также
261. приходим к (23.9). Из определений (20.17), (20.18) ясно, что и переопределение связности посредством (23.6) содержит то же самое дополнительное условие.
Коэффициенты связности (23.10) «второй геометрии», а также производные (23.11) совпадают с таковыми в аппарате Шмутцера. Из матриц (23.10) видно, что эта геометрия обладает кручением. Отличны от нуля следующие компоненты:
5Oa = Г[оа] + ^0Oa = --( Г0 а0--^a0 T0 00
2goo V goo
S~~a pa , (-)& _ 1 /pa ла \ /Оо і о\
0? = 1 [0?] + W o? —--— 1 ?0--1 00 , (^O. Idj
2 V goo J
5?? = f[°a?] + Q°a? = Q°a?, S?v = 0.
Применяя компоненты (23.4) к преобразованию символов Кристоффеля, получаем
f\a -pa ^a pa g?o pa . pO , Л f^O , c\ Ioo=Ioo, lo? = 10?--loo, IaO =F=Vj 1 a? ^= U,
goo
а остальные компоненты T^v совпадают с теми компонентами r?v в матрицах (23.10), которые отличны от нуля. Поэтому PJ^v не обеспечивают независимого дифференцирования пространственных и временных компонент.
Перейдем к переформулировке основных уравнений ОТО исходя из их і?-ковариантной записи. Для этого произведем в уравнениях (20.35) переход к неголономному базису (20.44), (20.45). Учитывая соотношения (23.8), (23.11) и тетрады (23.4), находим
